专题10.4 随机事件与概率
【考试要求】
1.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系；
2.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算； 3.理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则； 4.会用频率估计概率. 【知识梳理】 1.样本点和样本空间
随机试验的每一个可能的结果称为样本点，记作ω；随机试验的所有样本点组成的集合称为样本空间，记作Ω. 2.概率与频率
(1)频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率.
(2)概率：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A). 3.事件的关系与运算
nAn 定义 符号表示 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含包含关系 事件A(或称事件A包含于事件B) B?A (或A?B) 相等关系 并事件 (和事件) 交事件 (积事件) 互斥事件 对立事件 若B?A且A?B 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事A＝B A∪B(或A＋B) 件为事件A与事件B的并事件(或和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此A∩B(或AB) 事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件AA∩B＝? A∩B＝? 与事件B互为对立事件 4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B). ②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B). 【微点提醒】
P(A∪B)＝1 1.任一随机事件A都是样本空间Ω的一个子集，称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素. 2.从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.
－
(2)事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 3.概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时， 要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝
P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的.( )
(2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值.( ) (3)若随机事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1.( )
(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 【解析】根据概率相关概念可得。 【教材衍化】
2.(必修3P123A3改编)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分组 频数 [10，20) 2 [20，30) 3 [30，40) 4 [40，50) 5 [50，60) 4 [60，70) 2 则样本数据落在区间[10，40)的频率为( )
A.0.35 【答案】 B
B.0.45 C.0.55 D.0.65
【解析】 由表知[10，40)的频数为2＋3＋4＝9， 9
所以样本数据落在区间[10，40)的频率为＝0.45.
20
3.(必修3P121T5改编)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”( ) A.是互斥事件，不是对立事件 B.是对立事件，不是互斥事件 C.既是互斥事件，也是对立事件 D.既不是互斥事件也不是对立事件 【答案】 C
【解析】 “至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况，这两种情况再加上“全是男生”构成全集，且不能同时发生，故“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件. 【真题体验】
4.(2024·北京十八中月考)将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是( ) A.必然事件 C.不可能事件 【答案】 B
【解析】 抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0～10，都有可能发生，正面向上5次是随机事件. 5.(2024·全国Ⅲ卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( ) A.0.3 【答案】 B
【解析】 某群体中的成员分为只用现金支付、既用现金支付也用非现金支付、不用现金支付，它们彼此是互斥事件，所以不用现金支付的概率为1－(0.15＋0.45)＝0.4.
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6.(2024·潍坊调研)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是
23________. 5
【答案】 6
B.0.4
C.0.6
D.0.7
B.随机事件 D.无法确定
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【解析】 乙不输包含两人下成和棋和乙获胜，且它们是互斥事件，所以乙不输的概率为＋＝. 236【考点聚焦】
考点一 样本点与样本空间
【例1】 将一枚质地均匀的骰子相继投掷两次，请回答以下问题： (1)写出样本点和样本空间；
(2)用A表示随机事件“至少有一次掷出1点”，试用样本点表示事件A；
(3)用Aj(j＝1，2，3，4，5，6)表示随机事件“第一次掷出1点，第二次掷出j点”；用B表示随机事件“第一次掷出1点”，试用随机事件Aj表示随机事件B. 【答案】见解析
【解析】(1)首先确定样本点，用1，2，3，4，5，6表示掷出的点数，用(i，j)表示“第一次掷出i点，第二次掷出j点”，则相继投掷两次的所有可能结果如下： (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6) (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6) (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6) (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6) (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6) (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6)
注意到(1，2)和(2，1)是不同的样本点，分别表示“第一次掷出1点，第二次掷出2点”和“第一次掷出2点，第二次掷出1点”这两个随机事件，因此样本空间共有36个样本点.把每个样本点称为基本事件.样本空间为
?(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)??(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)?Ω＝?
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)??(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)??(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)?
＝{(i，j)|i，j＝1，2，3，4，5，6}.
(2)因为随机事件A＝“至少有一次掷出1点”，则A包括上述样本空间中所有出现1的样本点，因此
??(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，??
?. A＝?
??(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)??
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)
(3)Aj＝{(1，j)}，j＝1，2，3，4，5，6.因为这些事件任何一个发生事件B就发生，所以B＝
A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.
【规律方法】 1.在具体问题的研究中，描述随机现象的第一步就是建立样本空间.关于样本空间的几点说明：
(1)样本空间中的元素可以是数也可以不是数；
(2)样本空间中的样本点可以是有限多个的，也可以是无限多个的.仅含两个样本点的样本空间是最简单的样本空间；
(3)建立样本空间，事实上就是建立随机现象的数学模型.因此，一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题.例如只包含两个样本点的样本空间Ω＝{H，T}，它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模型，也可以作为产品检验中合格与不合格的模型，又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型等.
【训练1】 写出下列随机试验的样本空间Ω.
(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和Ω＝________.
(2)生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数，Ω＝________. 【答案】 (1){3，4，5，…，18} (2){10，11，12，…} 【解析】根据样本空间概念可得。 考点二 随机事件的关系
【例2】 (1)把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”( ) A.是对立事件
B.是不可能事件 D.不是互斥事件
C.是互斥但不对立事件
(2)设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 (1)C (2)A
【解析】 (1)显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件.
(2)若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1；投掷一枚硬币3次，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不一定是对立事件，如：事件A：“至少出现一次正面”，事件
2024届高考数学一轮复习第十篇计数原理、概率、随机变量及其分布专题10.4随机事件与概率练习（含解析）
