(最新)2024年高考数学二轮复习 专题突破练8 利用导数证明问题及讨论零点个数 理

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专题突破练8 利用导数证明问题及讨论零点个数

1.(2024河南郑州二模,理21)已知函数f(x)=e-x. (1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程; (2)求证:当x>0时,≥ln x+1.

2.(2024河南郑州一模,理21)已知函数f(x)=ln x+,a∈R且a≠0. (1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)当x∈时,试判断函数g(x)=(ln x-1)e+x-m的零点个数. 教育1

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3.设函数f(x)=x-aln x,g(x)=(a-2)x. (1)略;

(2)若函数F(x)=f(x)-g(x)有两个零点x1,x2,

2

①求满足条件的最小正整数a的值; ②求证:F'>0.

4.(2024河北保定一模,理21节选)已知函数f(x)=ln x-(a∈R). (1)略;

(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,证明:f. 教育1

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5.已知函数f(x)=(x-2)e+a(x-1)有两个零点. (1)求a的取值范围;

(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.

6.(2024山西名校二模,理21)已知函数f(x)=mln x. (1)讨论函数F(x)=f(x)+-1的单调性;

(2)定义:“对于在区域D上有定义的函数y=f(x)和y=g(x),若满足f(x)≤g(x)恒成立,则称曲线y=g(x)为曲线y=f(x)在区域D上的紧邻曲线”.试问曲线y=f(x+1)与曲线y=是否存在相同的紧邻直线,若存在,请求出实数m的值;若不存在,请说明理由. 教育1

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参考答案

专题突破练8 利用导数证明

问题及讨论零点个数

1.解 (1)f'(x)=e-2x,由题设得f'(1)=e-2,f(1)=e-1,f(x)在x=1处的切线方程为y=(e-2)x+1.

(2)f'(x)=e-2x,f″(x)=e-2,

xxx∴f'(x)在(0,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+∞)上单调递增,所以f'(x)≥f'(ln 2)=2-2ln 2>0,所以f(x)

在[0,1]上单调递增,

所以f(x)max=f(1)=e-1,x∈[0,1].f(x)过点(1,e-1),且y=f(x)在x=1处的切线方程为y=(e-2)x+1,故可猜测:当x>0,x≠1时,f(x)的图象恒在切线y=(e-2)x+1的上方.下证:当x>0时,f(x)≥(e-2)x+1,设

g(x)=f(x)-(e-2)x-1,x>0,则g'(x)=ex-2x-(e-2),g″(x)=ex-2,

g'(x)在(0,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+∞)上单调递增,又g'(0)=3-e>0,g'(1)=0,0

2)<0,所以,存在x0∈(0,ln 2),使得g'(x0)=0,

所以,当x∈(0,x0)∪(1,+∞)时,g'(x)>0;当x∈(x0,1)时,g'(x)<0,故g(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,

又g(0)=g(1)=0,∴g(x)=e-x-(e-2)x-1≥0,当且仅当x=1时取等号,故x,x>0. 教育1

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又x≥ln x+1,即ln x+1,当x=1时,等号成立.

2.解 (1)f'(x)=(x>0),当a<0时,f'(x)>0恒成立,函数f(x)在(0,+∞)上递增;当a>0时,由f'(x)>0,得x>,由f'(x)<0,得0

当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为 (2)∵x时,函数g(x)=(ln x-1)e+x-m的零点, 即方程(ln x-1)e+x=m的根. 令h(x)=(ln x-1)e+x,h'(x)=e+1.

由(1)知当a=1时,f(x)=ln x+-1在递减,在[1,e]上递增,

xxxx∴f(x)≥f(1)=0.

+ln x-1≥0在x上恒成立.∴h'(x)=ex+1≥0+1>0,∴h(x)=(ln x-1)ex+x在x上单调递增.∴h(x)min=h=-2,h(x)max=e.所以当m<-2或m>e时,没有零点,当-2m≤e时有一个零点. 3.解 (1)略;

(2)①∵F(x)=x-aln x-(a-2)x,

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∴F'(x)=2x-(a-2)-(x>0).因为函数F(x)有两个零点,所以a>0,此时函数F(x)在单调递减,在单调递增.

所以F(x)的最小值F<0, 即-a+4a-4aln<0.

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∵a>0,∴a+4ln-4>0.

令h(a)=a+4ln-4,显然h(a)在(0,+∞)上为增函数,且h(2)=-2<0,h(3)=4ln-1=ln-1>0, 所以存在a0∈(2,3),h(a0)=0.

当a>a0时,h(a)>0,所以满足条件的最小正整数a=3.

②证明:不妨设0

∵F'=0,∴当x时,F'(x)<0,当x时,F'(x)>0,故只要证即可,

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