第六讲 运动型问题
第1课时 几何图形中的动点问题
(58分)
一、选择题(每题6分，共18分)
1
1．[2017·安徽]如图6－1－1，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝3S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为( D ) A.29 B.34
C.52
D.41
图6－1－1 第1题答图
111
【解析】 令点P到AB的距离为h，由S△PAB＝3S矩形ABCD，得2×5h＝3×5×3，解得h＝2，动点P在EF上运动，如答图，作点B关于EF的对称点B′，BB′＝4，连结AB′交EF于点P，此时PA＋PB最小，根据勾股定理求得最小值为52＋42＝41，选D. 2．如图6－1－2，在矩形ABCD中，AB＝2a，AD＝a，矩形A→B→C→D的路径移动．设点P经过的路径长为x，PD2致反映y与x的函数关系的图象是
图6－1－2
边上一动点P沿＝y，则下列能大( D )
【解析】 ①当0≤x≤2a时，∵PD2＝AD2＋AP2，AP＝x，∴y＝x2＋a2；②当2a＜x≤3a时，CP＝2a＋a－x＝3a－x，∵PD2＝CD2＋CP2，∴y＝(3a－x)2＋(2a)2＝x2－6ax＋13a2；③当3a＜x≤5a时，PD＝2a＋a＋2a－x＝5a－x，
?2
2
∴PD＝y＝(5a－x)，y＝?x－6ax＋13a（2a ?（x－5a）2（3a 2 2 x2＋a2（0≤x≤2a）， 是选项D中的图象． 3．如图6－1－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝23为边长的正方形DEFG的一边GD在直线AB上，且 图6－1－3 现将正方形DEFG沿AB的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是 ( A ) 30°，AB＝8，以点D与点A重合， 【解析】 首先根据在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝8，分别求出AC，BC，以及AB边上的高线各是多少；然后根据图示，分三种情况：①当0≤t≤23时；②当23＜t≤6时；③当6＜t≤8时，分别求出正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S的表达式，进而判断出正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是哪个即可． ?? S＝?2t－23（23 23?－?3t＋（2＋83）t－26 2 32 6t（0≤t≤23）， 3（6 二、解答题(共20分) 4．(20分)[2017·无锡]如图6－1－4，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连结CP，作点D关于直线PC的对称点E.设点P的运动时间为t(s)． (1)若m＝6，求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值． (2)已知m满足：在动点P从点D到点A的整个过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3.求所有这样的m的取值范围． 图6－1－4 【解析】 (1)如答图①，P，E，B三点在同一直线上，连结EC.①在Rt△BEC中，计算BE的值；②在Rt△ABP中，利用勾股定理列出关于t的方程，解出t值即可求； (2)如图②，P，E，B三点在同一直线上，连结EC，过点E作EF⊥BC于F.①在Rt△EFC中，利用勾股定理求出CF；②利用相似三角形的判定与性质求得BF；③根据m＝BC＝BF＋CF计算m的值． 解：(1)如答图①，P，E，B三点在同一直线上，连结EC. ∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC. ∵PD＝t，m＝6，∴PA＝6－t. ∵点D，点E关于直线PC对称． ∴PE＝t，EC＝DC＝AB＝4，∠CEP＝∠CDP＝90°. 第4题答图① 在Rt△BCE中，∵BC＝6，CE＝4， ∴BE＝BC2－EC2＝62－42＝25. 在Rt△ABP中，∵AB2＋AP2＝BP2，即42＋(6－t)2＝(25＋t)2， 解得t＝6－25. (2)如答图②，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为3. 作EQ⊥BC于Q，EM⊥DC于M.则EQ＝3，CE＝DC＝4.易证四边形EMCQ是矩形，∴CM＝EQ＝3，∠M＝90°， ∴EM＝BC2－CM2＝7， ∵∠DAC＝∠EDM，∠ADC＝∠M， ADDCAD4∴△ADC∽△DME，∴DM＝EM，即7＝， 7∴AD＝47. 第4题答图② 第4题答图③ 如答图③，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为3. 作EQ⊥BC于Q，延长QE交AD于M.则EQ＝3，CE＝DC＝4. 在Rt△ECQ中，QC＝DM＝42－32＝7，由△DME∽△CDA， DMEM7147∴CD＝AD，即4＝AD，∴AD＝7， 综上所述，在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC47 的距离等于3，这样的m的取值范围是7≤m＜47. 5．(20分)[2017·丽水]如图6－1－5，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连结BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部．连结AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交ADAD于点G，设AE＝n. 图6－1－5 (1)求证：AE＝GE； AD (2)当点F落在AC上时，用含n的代数式表示AB的值； (3)若AD＝4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值． 【解析】 设AE＝a，则AD＝na.(1)由轴对称性质得到AE＝FE，结合“等边对等角”得到∠EAF＝∠EFA.由垂直得到两个角的互余关系，根据“等角的余角相等”可得到结论； (2)由对称性质得BE⊥AF，先证∠ABE＝∠DAC，进而证得△ABE∽△DAC，根据相似三角形的对应边成比例建立关系式，通过适当变形求解； (3)由特例点F落在线段BC上，确定n＝4，根据条件点F落在矩形内部得到n＞4，判断出∠FCG＜90°.然后分∠CFG＝90°和∠CGF＝90°两种情况，由(2)的结论和相似三角形的性质分别建立关于n的等式，求得n的值． 解：设AE＝a，则AD＝na. (1)证明：由对称得AE＝FE，∴∠EAF＝∠EFA. ∵GF⊥AF，∴∠EAF＋∠FGA＝∠EFA＋∠EFG＝90°. ∴∠FGA＝∠EFG，∴FG＝EF，∴AE＝GE. (2)当点F落在AC上时(如答图①)，由对称得BE⊥AF， ∴∠ABE＋∠BAC＝90°， ∵∠DAC＋∠BAC＝90°， ∴∠ABE＝∠DAC. 又∵∠BAE＝∠D＝90°， ABAE∴△ABE∽△DAC，∴DA＝DC. ∵AB＝DC，∴AB2＝AD·AE＝na·a＝na2. ADna∵AB＞0，∴AB＝na，∴AB＝＝n. na nn (3)若AD＝4AB，则AB＝4a.当点F落在线段BC上时(如答图②)，EF＝AE＝AB＝a.此时4a＝a， ∴n＝4.∴当点F落在矩形内部时，n＞4. ∵点F落在矩形的内部，点G在AD上， ∴∠FCG＜∠BCD，∴∠FCG＜90°. 第5题答图① 第5题答图② 第5题答图③ AD①若∠CFG＝90°，则点F落在AC上，由(2)得AB＝n，∴n＝16. ②若∠CGF＝90°(如答图③)， 则∠CGD＋∠AGF＝90°. ∵∠FAG＋∠AGF＝90°， ∴∠CGD＝∠FAG＝∠ABE， ∵∠BAE＝∠D＝90°， ABAE∴△ABE∽△DGC.∴DG＝DC， ?n?2 ∴AB·DC＝DG·AE，即?4a?＝(n－2)a·a， ??
2018届中考数学《第四部第六讲第1课时几何图形中的动点问题》同步练习
