2024年
【2024最新】精选高考数学一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数
第9讲函数与方程分层演练文
一、选择题
1．已知函数f(x)＝－log2x，则f(x)的零点所在的区间是( ) A．(0，1) C．(3，4)
B．(2，3) D．(4，＋∞)
解析：选C.易知f(x)是单调函数，f(3)＝2－log23>0，
f(4)＝－log24＝－2＝－<0，
故f(x)的零点所在的区间是(3，4)．
2．已知函数f(x)＝－cos x，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为( ) A．1 C．3
B．2 D．4
解析：选C.作出g(x)＝与h(x)＝cos x的图象如图所示，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0，2π]上的零点个数为3，故选C.
3．已知实数a>1，0 B．(－1，0) D．(1，2) 解析：选B.因为a>1，0 4．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( ) A．(1，3) B．(1，2) 2024年 C．(0，3) D．(0，2) 解析：选C.因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0， 即a(a－3)<0.所以0 5．已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是( ) A．(－∞，－1) C．(－1，0) B．(－∞，0) D．[－1，0) 解析：选D.当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝，所以只需要当x≤0时，ex＋a＝0有一个根即可，即ex＝－a.当x≤0时，ex∈(0，1]，所以－a∈(0，1]， 即a∈[－1，0)，故选D. 6．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为( ) A．a＜b＜c C．a＞b＞c B．a＜c＜b D．c＞a＞b 解析：选B.f(x)＝2x＋x的零点a为函数y＝2x与y＝－x图象的交点的横坐标，由图象(图略)可知a＜0，g(x)＝log2x＋x的零点b为函数y＝log2x与y＝－x图象的交点的横坐标，由图象(图略)知b＞0，令h(x)＝0，得c＝0.故选B. 二、填空题 7．已知函数f(x)＝若f(0)＝－2，f(－1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为________． ??c＝－2，解析：依题意得? ?－1－b＋c＝1，? 2024年 ??b＝－4，解得? ?c＝－2.?令g(x)＝0，得f(x)＋x＝0， ??x>0，该方程等价于①? ?－2＋x＝0，???x≤0，或②? ?－x2－4x－2＋x＝0，?解①得x＝2，解②得x＝－1或x＝－2， 因此，函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为3. 答案：3 8．方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围为________． 解析：令函数f(x)＝2x＋3x－k， 则f(x)在R上是增函数． 当方程2x＋3x＝k的解在(1，2)内时， f(1)·f(2)<0， 即(5－k)(10－k)<0， 解得5 当f(1)＝0时，k＝5. 答案：[5，10) 9．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________． 解析：函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，转化为f(x)－m＝0的根有3个，进而转化为y＝f(x)，y＝m的交点有3个．画出函数y＝f(x)的图象，则直线y＝m与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1，1)，由图可知实数m的取值范围是(0，1)． 2024年 答案：(0，1) 10．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝，则函数F(x)＝f(x)－的所有零点之和为________． 解析：由题意知，当x＜0时，f(x)＝ －2x??，x∈（－1，0）1－x，作出函数f(x)的图象如图所示，设函数y＝f(x)的图象与???|x＋3|－1，x∈（－∞，－1]y＝交点的横坐标从左到右依次为x1，x2，x3，x4，x5，由图象的对称性可知，x1＋x2＝－6，x4＋x5＝6，x1＋x2＋x4＋x5＝0，令＝，解得x3＝，所以函数F(x)＝f(x)－的所有零点之和为. 答案：1－2π 三、解答题 11．已知a是正实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.如果函数y＝f(x)在区间[－1，1]上有零点，求a的取值范围． 解：f(x)＝2ax2＋2x－3－a的对称轴为x＝－. ①当－≤－1，即所以无解． ②当－1<－<0，即a>时， 1??－－3－a≤0，须使即?2a ??a≥1，??a≤5，0 ?a≥1，?1解得a≥1， 所以a的取值范围是[1，＋∞)． 1??x＋，x>0，12．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝?4x ??x＋1，x≤0.(1)求g(f(1))的值； 2024年 (2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围． 解：(1)利用解析式直接求解得g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2. (2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)内有2个不同的解， 则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象(图略)，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.
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