PAB?平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．
（1）求证：DE//平面PBC； （2）求证：AB?PE； （3）求三棱锥P?BEC的体积．
解析：（1）∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE//BC， 又DE?平面PBC，BC?平面PBC，∴DE//平面PBC． （2）连接PD，
∵DE//BC，又?ABC?90?，∴DE?AB， 又PA?PB，D为AB中点，∴PD?AB， ∴AB?平面PDE，∴AB?PE．
（3）∵平面PAB?平面ABC，PD?AB，
11113VP?BEC?VP?ABC????2?3?3?22322． ∴PD?平面ABC，∴
0变式1：如图,三棱柱ABC?A1B1C1中,AB?AC?AA1?BC1?2,?AA1C1?60,平面
ABC1?平面AAC11C，AC1与A1C相交于点D．
（1）求证：BD?A1C；
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（2）若E在棱BC1上，且满足DE//面ABC，求三棱锥E?ACC1的体积
解析：（1）已知侧面AAC11C是菱形，D是AC1的中点，∵BA?BC1，∴BD?AC1 ∵平面ABC1?平面AAC11C，且BD?平面ABC1，平面ABC1∴BD?平面AAC11C，BD?A1C．
（2）∵DE//面ABC，DE?面ABC1，面ABC1∵点D为AC1的中点，∴点E为BC1的中点，
0∵AA1?AC?AC1?2，?AA1C1?60，∴AC1?2，∵AB?BC1?2,
平面AAC11C?AC1，
面ABC?AB，∴DE//AB
∴?ABC1为正三角形，BD?∴点E到面ACC1的距离?3
131，点B到面ACC1的距离?BD?，
222S?ACC1?113AC?AC1?sin600??2?2??3 2221131sh??3??． 3322∴VE?ACC1?变式2：如图，在平行四边形ABCD中，AB?1,BC?2，?CBA?梯形，BE//AF，?BAF??3，ABEF为直角
?2，BE?2，AF?3，平面ABCD?平面ABEF．
（1）求证：AC?平面ABEF；
（2）求三棱锥D?AEF的体积．
解析：（1）证明：在?ABC中，AB?1，?CBA??3，BC?2，
所以AC2?BA2?BC2?2BA?BCcos?CBA?3，
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所以AC2?BA2?BC2，所以AB?AC， 又因为平面ABCD?平面ABEF，平面ABCD平面ABEF?AB，
AC?平面ABCD，所以AC?平面ABEF． （2）解：如图，连结CF． ∵CD//AB，
∴CD//平面ABEF．
∴点D到平面ABEF的距离等于点C到平面ABEF的距离，并且AC?∴VD?AEF?VC?AEF
3．
11??(?3?1)?3 32?3 2
变式3：如图，在四棱锥P?ABCD中，PD?平面ABCD，底面ABCD是菱形，
?BAD?60，AB?2，PD?6，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点.
（Ⅰ）证明：平面EAC?平面PBD；
（Ⅱ）若PD//平面EAC，求三棱锥P?EAD的体积. 解析：（Ⅰ）证明：∵PD?平面ABCD，AC?平面ABCD， ∴AC?PD.∵四边形ABCD是菱形，∴AC?BD， 又∵PDBD?D，AC?平面PBD.
而AC?平面EAC，∴平面EAC?平面PBD.
（Ⅱ）解：∵PD//平面EAC，平面EAC平面PBD?OE， ∴PD//OE，
∵O是BD中点，∴E是PB中点.
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取AD中点H，连结BH，∵四边形ABCD是菱形，?BAD?60，
∴BH?AD，又BH?PD，AD∴BD?平面PAD，BH?PD?D，
3AB?3. 2∴VP?EAD?VE?PAD?111112VB?PAD???S?PAD?BH???2?6?3? 223622变式4：如图，在三棱锥S?ABC中，SA?底面ABC，?ABC?90?，且SA?AB， 点M是SB的中点，AN?SC且交SC于点N.
（1）求证：SC?平面AMN；
（2）当AB?BC?1时，求三棱锥M?SAN的体积.
SNMABC
（1）证明：SA?底面ABC，?BC?SA，又易知BC?AB， ?BC?平面SAB，?BC?AM，
又SA?AB，M是SB的中点，?AM?SB， ?AM?平面SBC，?AM?SC， 又已知AN?SC， ?SC?平面AMN；
（2）SC?平面AMN，?SN?平面AMN， 而SA?AB?BC?1，?AC?2，SC?3，
又又
AN?SC，?AN?6， 3AM?平面SBC，?AM?AN，
62，?MN?，
621263???， 22612而AM??S?AMB?11， ?VS?AMN?S?AMN?SN?33619
?VM?SAN?VS?AMN?1. 36
题型4 二面角
常用技巧：1、定义法；2、垂线法；3、垂面法
例4：四棱锥A?BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC?底面BCDE，BC?2，
CD?2，AB?AC.
（1）证明：AD?CE；
（2）设CE与平面ABE所成的角为45，求二面角C?AD?E的余弦值的大小. 解析：（1）取BC中点F，连接DF交CE于点O. ∵AB?AC，∴AF?BC，
又平面ABC?平面BCDE，∴AF?平面BCDE， ∴AF?CE.
tan?CED?tan?FDC?2， 2∴?OED??ODE?90，∴?DOE?90，即CE?DF， ∴CE?平面ADF，∴CE?AD.
（2）在面ACD内过C点作AD的垂线，垂直为G.
∵CG?AD，CE?AD，∴AD?面CEG，∴EG?AD， 则?CGE即为所求二面角的平面角.
CG?630AC?CD2322?，DG?，EG?DE?DG?，
33AD3CG2?GE2?CE210CE?6，则cos?CGE???.
2CG?GE1020
立体几何常见重要题型归纳-高考立体几何题型归纳
