第四章 第八节
1．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是( )
A．102 海里 C．202 海里
B．103 海里 D．203 海里
解析：选A 如图所示，由已知条件可得，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°， ∴∠BCA＝45°.
1
又AB＝40×＝20(海里)，
2∴由正弦定理可得
20BC
＝. sin 45°sin 30°
120×
2
∴BC＝＝102(海里)，故选A.
22
2．(2014·长郡中学月考)台风登陆某地，台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断，某路边一树干被台风吹断后，折成与底面成45°角，树干也倾斜为与底面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是( )
206A． 米
3106C． 米
3
B．106 米 D．206 米
a20246
解析：选A 设所求距离为a米，由正弦定理得＝解得a＝，选sin 45°sin 60°3A.
3．在某个位置测得某山峰仰角为α，对着山峰在水平地面上前进900 m后测得仰角为2α，继续在水平地面上前进3003 m后，测得山峰的仰角为4α，则该山峰的高度为( )
A．300 m C．3003 m
B．450 m D．600 m
解析：选B 如图，在△ABE中，AE⊥BE，C、D为BE上的点，且BC＝900 m，CD＝3003 m，∠B＝α，∠ACD＝2α，∠ADE＝4α.
所以∠BAC＝α，∠CAD＝2α，
所以AC＝BC＝900，AD＝CD＝3003. 在△ACD中，由正弦定理得
900
AD＝，
sin ∠ADCsin ∠ACDCA
即
30033＝，解得cos 2α＝. 2sin?π－4α?sin 2α
13
又2α为锐角，∴sin 2α＝，∴sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝.
22在Rt△ADE中 ，AE＝AD·sin 4α＝300 3×
3
＝450(m)．故选B. 2
4．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N处，则该船航行的速度为( )
172A． 海里/小时
2176C． 海里/小时
2
B．346 海里/小时 D．342 海里/小时
解析：选C 如图所示，在△PMN中，PM＝68，∠PNM＝45°，∠PMN＝15°，故∠MPN＝120°，由正弦定理可得海里/小时．
68MN176
＝，所以MN＝346，所以该船的航行速度为
sin 45°sin 120°2
5． (2012·四川高考)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC、ED，则sin ∠CED＝( )
310A．
10C．
5 10
B．D．
10
105 15
解析：选B 方法一：由题意知，在Rt△ADE中，∠AED＝45°，在Rt△BCE中，BE＝2，BC＝1，∴CE＝5，则
sin ∠CEB＝
12，cos ∠CEB＝. 55
而∠CED＝45°－∠CEB， ∴sin ∠CED＝sin (45°－∠CEB) ＝
212210
(cos ∠CEB－sin ∠CEB)＝×?－?＝. 22?55?10
12＋22＝5.
方法二：由题意得ED＝2，EC＝在△EDC中，由余弦定理得
CE2＋DE2－DC23cos ∠CED＝＝10.
2CE·DE10又0＜∠CED＜π， ∴sin ∠CED＝
1－cos2∠CED＝
310
10?2＝1－??10?10.
6．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是________n mile.
解析：70 d2＝502＋ 302－2×50×30×cos 120°＝4 900， ∴d＝70，即两船相距70 n mile.
7．(2014·石家庄一中质检)如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α＝60°，在塔底C处测得A处的俯角为β＝45°，已知铁塔BC部分的高为243 米，则山高CD＝________ 米．
BD
解析：36＋123 由已知条件可得∠BAD＝60°，∠CAD＝45°，tan ∠BAD＝，tan ∠
ADBDCD－ADADCDBC·AD
CAD＝，则tan ∠BAC＝tan (60°－45°)＝＝＝2ADBDCDAD＋BD·CD1＋·ADAD123＝＝2－3，解得CD＝36＋123. CD2＋?243＋CD?·CD123＋CD
8．(2014·山东师大附中模拟)如图，甲船以每小时302 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，
243·CD
乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102 海里，则乙船的速度为________海里/小时．
20
解析：302 如图，连接A1B2.由题知A1A2＝302×＝102，A2B2
60＝102，又∠A1A2B2＝60°，∴△A1A2B2为正三角形，从而A1B2＝102.∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，又A1B1＝20, 在△B1A1B2中，由余弦定理，得B1B22＝
2A1B2A1B2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×1＋A1B2－2A1B1·
2
＝2
102200，∴B1B2＝102，∴乙船的速度为×60＝302(海里/小时)．
20
9．(2014·南京模拟)如图，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为______．
25＋9－49561解析： 在△ADC中，由余弦定理可得cos ∠ADC＝＝－，所以∠ADC＝
222×5×33
5×ADsin ∠ADB256
120°，则∠ADB＝60°.在△ABD中，由正弦定理可得AB＝＝＝.
22sin ∠B
2
53
10．如图，在△ABC中，点D在BC边上，AD＝33，sin ∠BAD＝，cos ∠ADC＝.
135
(1)求sin ∠ABD的值； (2)求BD的长．
3
解：(1)因为cos ∠ADC＝，
5所以sin ∠ADC＝
4
1－cos2∠ADC＝. 5
5
又sin ∠BAD＝，
13所以cos ∠BAD＝
12
1－sin2∠BAD＝. 13
因为∠ABD＝∠ADC－∠BAD，
所以sin ∠ABD＝sin (∠ADC－∠BAD) ＝sin ∠ADCcos ∠BAD－cos ∠ADCsin ∠BAD 4123533＝×－×＝. 51351365
533×AD×sin ∠BAD13BDAD
(2)在△ABD中，由正弦定理得＝，所以BD＝＝
33sin ∠BADsin ∠ABDsin ∠ABD
65＝25.
11．如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离．
解：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1 km.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.
又∵∠ABC＝15°，
ABAC
在△ABC中，＝，
sin ∠BCAsin ∠ABCACsin 60°32＋6
所以AB＝＝(km)，
sin 15°2032＋6
同理，BD＝(km)．
2032＋6故B、D的距离为 km.
20
12．(2014·合肥一中模拟)某单位有A、B、C三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为AB＝80 m，BC＝70 m，CA＝50 m．假定A、B、C、O四点在同一平面内．
(1)求∠BAC的大小； (2)求点O到直线BC的距离．
解：(1)在△ABC中，因为AB＝80，BC＝70，CA＝50，
第4章第8节
