一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，抛物线y=
x2+bx+c 与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为
（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接BD，点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；
（3）如图2，若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，求点Q的坐标．
【答案】（1）解：把B（6，0），C（0，6）代入y=
x2+bx+c，得
解得
,抛物线的解析式是y=
x2+2x+6, 顶点D的坐标是（2，8）
（2）解：如图1，过F作FG⊥x轴于点G， 设F（x，
x2+2x+6），则FG=
，
，
∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，∴△FBG∽△BDE，∴
∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，∴BG=6-x，
∴
当点F在x轴上方时，有 为（-1， ）,
，∴x=-1或x=6（舍去），此时F1的坐标
当点F在x轴下方时，有 标为（-3，
）,
，∴x=-3或x=6（舍去），此时F2的坐
综上可知F点的坐标为（-1， ）或（-3，
）
（3）解：如图2，
不妨M在对称轴的左侧，N在对称轴的左侧，MN和PQ交于点K，由题意得点M，N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ为正方形，且点P在x轴上 ∴点P为抛物线的对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上 , ∴KP=KM=k，则Q（2，2k），M坐标为（2-k，k）， ∵点M在抛物线y= 解得k1=
x2+2x+6的图象上，∴k= 或k2=
）或Q2（2，
）.
(2-k)2+2(2-k)+6
∴满足条件的点Q有两个，Q1（2，
求解就可得出函数解析式，再求出顶点坐标。
【解析】【分析】（1）根据点B、C的坐标，利用待定系数法建立关于b、c的方程组，（2）过F作FG⊥x轴于点G，设出点F的坐标，表示出FG的长，再证明△FBG∽△BDE，利用相似三角形的性质建立关于x的方程，当点F在x轴上方时和当点F在x轴下方时，求出符合题意的x的值，求出点F的坐标。
（3）由点M，N关于抛物线的对称轴对称，可得出点P为抛物线的对称轴与x轴的交点，
点Q在抛物线的对称轴上 ,设Q（2，2k），M坐标为（2-k，k），再由点M在抛物线上，列出关于k的方程，求解即可得出点Q的坐标。
2．如图①，已知直线l1∥l2 ， 线段AB在直线l1上，BC垂直于l1交l2于点C，且AB＝BC，P是线段BC上异于两端点的一点，过点P的直线分别交l2 ， l1于点D，E(点A，E位于点B的两侧，满足BP＝BE，连接AP，CE．
（1）求证：△ABP≌△CBE．
（2）连接AD、BD，BD与AP相交于点F，如图②． ①当 时，求证：AP⊥BD；
②当
(n＞1)时，设△PAD的面积为S1 ， △PCE的面积为S2 ，【答案】（1）证明：BC⊥直线l1 ， ∴∠ABP＝∠CBE． 在△ABP和△CBE中，
（2）①证明：如图，延长AP交CE于点H．
∵△ABP≌△CBE， ∴∠PAB＝∠ECB，
∴∠PAB＋∠AEH＝∠ECB＋∠AEH＝90°， ∴∠AHE＝90°， ∴AP⊥CE． ∵
，即P为BC的中点，直线l1∥直线l2 ，
∴△CPD∽△BPE，
求 的值．
∴
∴DP＝EP．
，
∴四边形BDCE是平行四边形，∴CE∥BD． ∵AP⊥CE，∴AP⊥BD． ②解：∵ ∵CD∥BE， ∴△CPD∽△BPE， ∴
． ，∴BC＝nBP，
∴CP＝(n－1)BP．
令S△BPE＝S，则S2＝(n－1)S， S△PAB＝S△BCE＝nS，S△PAE＝(n＋1)S． ∵
∴S1＝(n＋1)(n－1)S， ∴
．
，
【解析】【分析】（1）由已知条件用边角边即可证得△ABP≌△CBE；
（2）①、延长AP交CE于点H，由（1）知△ABP≌△CBE，所以可得∠PAB＝∠ECB，而∠∠ECB+∠BEC=
，所以可得∠PAB+∠BEC=
，即∠AHE=
，所以AP⊥CE；已知
=2,则点P为BC的中点，所以易证得BE=CD，由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BDCE是平行四边形，由平行四边形的性质可得CE∥BD，再根据平行线的性质即可求得AP⊥BD；
②方法与①类似，由已知条件易证得△CPD∽△BPE，则可得对应线段的比相等，然后可将△PAD的面积和△PCE的面积用三角形BPE的面积表示出来，则这两个三角形的比值即可求解。
3．在平面直角坐标系中，二次函数 （1，0）两点，与y轴交于点C．
的图象与 轴交于A（－3，0），B
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于 轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由； 【答案】（1）解：由抛物线 则
过点A（－3，0），B（1，0），
解得
∴二次函数的关系解析式
（2）解：连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．
设点P坐标为（m，n），则 PM = 当
时，
，
，AO=3．
＝2．
．
∴OC=2．
＝
人教中考数学备考之相似压轴突破训练∶培优易错试卷篇附答案
