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例2：小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图3中的 （小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v、周期T的关系。（小球的半径远小于R）。
图3
解析：小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上（不在半球的球心），向心力F是重力G和支持力
的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。如图3所示
有
由此可得 ，
可见， 越大（即轨迹所在平面越高），v越大，T越小。
点评：本题的分析方法和结论同样适用于火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。
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3. 竖直面内的圆周运动
竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及题型分类（图4）。
图4
这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，所以物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。
（1）弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有 否则不能通过最高点；
，即 ，
（2）弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有 否则车将离开桥面，做平抛运动；
， ，
（3）弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。这种情况下，速度大小v可以取任意值。但可以进一步讨论：a. 当 的；当
时物体受到的弹力必然是向上的；当
时，向心力有两解
；当弹力
时物体受到的弹力必然是向下
时物体受到的弹力恰好为
；当弹力大小
时，向心
零。b. 当弹力大小 力只有一解 界条件。
时，向心力等于零，这也是物体恰能过最高点的临
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结合牛顿定律的题型
例3：如图5所示，杆长为 ，球的质量为
，杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动，
已知在最高点处，杆对球的弹力大小为 ，求这时小球的瞬时速度大小。
图5
解析：小球所需向心力向下，本题中 能向下。
，所以弹力的方向可能向上也可
（1）若F向上，则 ， ；
（2）若F向下，则 ，
点评：本题是杆连球绕轴自由转动，根据机械能守恒，还能求出小球在最低点的即时速度。
需要注重的是：若题目中说明小球在杆的带动下在竖直面内做匀速圆周运动，则运动过程中小球的机械能不再守恒，这两类题一定要分清。
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结合能量的题型
例4：一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得
多），在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球A、B，质量分别为 管顺时针运动，经过最低点的速度都是 若要此时作用于细管的合力为零，那么
、 ，沿环形
，当A球运动到最低点时，B球恰好到最高点，、
、R和
应满足的关系是 。
解析：由题意分别对A、B小球和圆环进行受力分析如图6所示。
对于A球有
对于B球有
根据机械能守恒定律
由环的平衡条件 而 ，
由以上各式解得
图6
点评：圆周运动与能量问题常联系在一起，在解这类问题时，除要对物体受力分析，运用圆周运动知识外，还要正确运用能量关系（动能定理、机械能守恒定律）。
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连接问题的题型
例5：如图7所示，一根轻质细杆的两端分别固定着A、B两个质量均为m的小球，O点是一光滑水平轴，已知
，
，使细杆从水平位置由静止开始转动，当B
球转到O点正下方时，它对细杆的拉力大小是多少？
图7
解析：对A、B两球组成的系统应用机械能守恒定律得
因A、B两球用轻杆相连，故两球转动的角速度相等，即
设B球运动到最低点时细杆对小球的拉力为 ，由牛顿第二定律得
解以上各式得 方向竖直向下。
，由牛顿第三定律知，B球对细杆的拉力大小等于 ，
说明：杆件模型的最显著特点是杆上各点的角速度相同。这是与后面解决双子星问题的共同点。
、
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高一物理必修2圆周运动复习知识点总结及经典例题详细剖析
