高考数列求和解题方法大全
数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考的热点和重点。由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。鉴于此，下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧作一归纳，以提高同学们数列求和的能力。 一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、
等差数列求和公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22(q?1)?na1n2、等比数列求和公式：Sn?? ?a1(1?q)?a1?anq(q?1)?1?q?1?q3、
1Sn??k?n(n?1) 4、
2k?1nn1Sn??k2?n(n?1)(2n?1)
6k?15、
1Sn??k3?[n(n?1)]2
2k?1?1，求x?x2?x3?????xn????的前n项和. log23n例1． 已知log3x?解：由log3x??11?log3x??log32?x?， 由等比数列求和公式得 log23211(1?)nnx(1?x)2＝1－1 ＝2Sn?x?x2?x3?????xn=
12n1?x1?2二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
例2． 求和：Sn?1?3x?5x2?7x3?????(2n?1)xn?1………………………①
解：由题可知，{(2n?1)xn?1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{xn?1}的通项之积
当x?1时，Sn?1?3?5?7????2n?1??当x?1时
设
xSn?1x?3x2?5x3?7x4?????(2n?1)xn?1??2n?1??n?n2
2……………②
（设制错位）
①－②得 (1?x)Sn?1?2x?2x2?2x3?2x4?????2xn?1?(2n?1)xn （错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：
1?xn?1(1?x)Sn?1?2x??(2n?1)xn
1?x(2n?1)xn?1?(2n?1)xn?(1?x)∴ Sn?
(1?x)2例3.已知a?0,a?1，数列?an?是首项为a，公比也为a的等比数列，令
bn?an?lgan(n?N)，求数列?bn?的前n项和Sn。
解析：
?an?an,bn?n?anlga?Sn?(a?2a2?3a3???nan)lga aSn?(a2?2a3?3a4???nan?1)lga①-②得：(1?a)Sn?(a?a2???an?nan?1)lga
?Sn?alga1?(1?n?na)an。 2(1?a)??点评：设数列?an?的等比数列，数列?bn?是等差数列，则数列
?anbn?
的前n项和Sn求解，均可用错位相减法。
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1?an).
1例4．函数f(x)对任意x?R，都有f(x)?f(1?x)?。（1）求f()和
2121n?1f()?f() nn的值；（2）数列?an?满足：an?f(0)?f()?f()???f(列?an?是
等差数列吗？请给与证明。（3）bn?222Tn?b1?b2???bn试比较Tn与Sn的大小。
1n2nn?1)?f(1)，数n44an?1，Sn?32?16，n
1n?1111)?f()?f(1?)?
nnnn212n?1)?f(1) （2）?an?f(0)?f()?f()???f(nnnn?1n?221)?f()???f()?f()?f(0) ∴an?f(1)?f(nnnn1n?11)???f(1)?f(0)?(n?1) ∴2an?f(0)?f(1)?f()?f(nn2n?1∴an?
4解：（1）令x?,可得f()?，f()?f(121214（3）bn?，Tn?16(1?4n111111????)?16(1?????)
1?22?3(n?1)?n2232n2?32?16?Sn n四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例5．求数列的前n项和：1?1,1a?4,1a2?7,???,1an?1?3n?2，… 解：设S1?1)?(1a?4)?(11n?(a2?7)?????(an?1?3n?2)
将其每一项拆开再重新组合得
Sn?(1?1a?1a?????12an?1)?(1?4?7?????3n?2) 组）
当a＝1时，S(3n?1)nn?n?2＝(3n?1)n2 求和）
1当1?a?1时，Sn(3n?1)a?a1?n(3n?1)nn?a?n＝?1?12a?12a例6． 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
解：设ak?k(k?1)(2k?1)?2k3?3k2?k ∴ nnSn??k(k?1)(2k?1)＝?(2k3?3k2?k)
k?1k?1将其每一项拆开再重新组合得
Snnnn＝2?k3?3?k2??1?k （分组）
k?1kk?1＝2(13?23?????n3)?3(12?22?????n2)?(1?2?????n)
＝n2(n?1)2n(n?1)(2n?1)n(n?1)n(n?1)2(n2?2?2＝?2)2 五、裂项法求和
（分 （分组这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
sin1?（1）an?f(n?1)?f(n) （2）?tan(n?1)??tann? ??cosncos(n?1)111(2n)2111??（3）an? （4）an??1?(?) n(n?1)nn?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?1（5）an?(6)an?
1111?[?]
n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)n?212(n?1)?n1111 ?n??n??,则S?1?nn(n?1)2n(n?1)2n?2n?1(n?1)2n(n?1)2n例7． 求数列解：设an?则 Sn?11?211?21,12?3,???,1n?n?1,???的前n项和.
n?n?1?12?3?n?1?n （裂项）
1n?n?1????? （裂项求和）
＝(2?1)?(3?2)?????(n?1?n)＝n?1?1 例8． 在数列{an}中，an?列{bn}的前n项的和. 解：
bn?12n2??????，又bn?，求数n?1n?1n?1an?an?1 ∵
an?12nn???????n?1n?1n?12 ∴
211?8(?) nn?1nn?1?221111111)] ∴ 数列{bn}的前n项和Sn?8[(1?)?(?)?(?)?????(?22334nn?118n) ＝ ＝8(1? n?1n?1
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