高考数列求和解题方法大全
数列求和问题是数列的基本内容之一,也是高考的热点和重点。由于数列求和问题题型多样,技巧性也较强,以致成为数列的一个难点。鉴于此,下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧作一归纳,以提高同学们数列求和的能力。 一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、
等差数列求和公式:Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22(q?1)?na1n2、等比数列求和公式:Sn?? ?a1(1?q)?a1?anq(q?1)?1?q?1?q3、
1Sn??k?n(n?1) 4、
2k?1nn1Sn??k2?n(n?1)(2n?1)
6k?15、
1Sn??k3?[n(n?1)]2
2k?1?1,求x?x2?x3?????xn????的前n项和. log23n例1. 已知log3x?解:由log3x??11?log3x??log32?x?, 由等比数列求和公式得 log23211(1?)nnx(1?x)2=1-1 =2Sn?x?x2?x3?????xn=
12n1?x1?2二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
例2. 求和:Sn?1?3x?5x2?7x3?????(2n?1)xn?1………………………①
解:由题可知,{(2n?1)xn?1}的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{xn?1}的通项之积
当x?1时,Sn?1?3?5?7????2n?1??当x?1时
设
xSn?1x?3x2?5x3?7x4?????(2n?1)xn?1??2n?1??n?n2
2……………②
(设制错位)
①-②得 (1?x)Sn?1?2x?2x2?2x3?2x4?????2xn?1?(2n?1)xn (错位相减)
再利用等比数列的求和公式得:
1?xn?1(1?x)Sn?1?2x??(2n?1)xn
1?x(2n?1)xn?1?(2n?1)xn?(1?x)∴ Sn?
(1?x)2例3.已知a?0,a?1,数列?an?是首项为a,公比也为a的等比数列,令
bn?an?lgan(n?N),求数列?bn?的前n项和Sn。
解析:
?an?an,bn?n?anlga?Sn?(a?2a2?3a3???nan)lga aSn?(a2?2a3?3a4???nan?1)lga①-②得:(1?a)Sn?(a?a2???an?nan?1)lga
?Sn?alga1?(1?n?na)an。 2(1?a)??点评:设数列?an?的等比数列,数列?bn?是等差数列,则数列
?anbn?
的前n项和Sn求解,均可用错位相减法。
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个(a1?an).
1例4.函数f(x)对任意x?R,都有f(x)?f(1?x)?。(1)求f()和
2121n?1f()?f() nn的值;(2)数列?an?满足:an?f(0)?f()?f()???f(列?an?是
等差数列吗?请给与证明。(3)bn?222Tn?b1?b2???bn试比较Tn与Sn的大小。
1n2nn?1)?f(1),数n44an?1,Sn?32?16,n
1n?1111)?f()?f(1?)?
nnnn212n?1)?f(1) (2)?an?f(0)?f()?f()???f(nnnn?1n?221)?f()???f()?f()?f(0) ∴an?f(1)?f(nnnn1n?11)???f(1)?f(0)?(n?1) ∴2an?f(0)?f(1)?f()?f(nn2n?1∴an?
4解:(1)令x?,可得f()?,f()?f(121214(3)bn?,Tn?16(1?4n111111????)?16(1?????)
1?22?3(n?1)?n2232n2?32?16?Sn n四、分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.
例5.求数列的前n项和:1?1,1a?4,1a2?7,???,1an?1?3n?2,… 解:设S1?1)?(1a?4)?(11n?(a2?7)?????(an?1?3n?2)
将其每一项拆开再重新组合得
Sn?(1?1a?1a?????12an?1)?(1?4?7?????3n?2) 组)
当a=1时,S(3n?1)nn?n?2=(3n?1)n2 求和)
1当1?a?1时,Sn(3n?1)a?a1?n(3n?1)nn?a?n=?1?12a?12a例6. 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
解:设ak?k(k?1)(2k?1)?2k3?3k2?k ∴ nnSn??k(k?1)(2k?1)=?(2k3?3k2?k)
k?1k?1将其每一项拆开再重新组合得
Snnnn=2?k3?3?k2??1?k (分组)
k?1kk?1=2(13?23?????n3)?3(12?22?????n2)?(1?2?????n)
=n2(n?1)2n(n?1)(2n?1)n(n?1)n(n?1)2(n2?2?2=?2)2 五、裂项法求和
(分 (分组这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如:
sin1?(1)an?f(n?1)?f(n) (2)?tan(n?1)??tann? ??cosncos(n?1)111(2n)2111??(3)an? (4)an??1?(?) n(n?1)nn?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?1(5)an?(6)an?
1111?[?]
n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)n?212(n?1)?n1111 ?n??n??,则S?1?nn(n?1)2n(n?1)2n?2n?1(n?1)2n(n?1)2n例7. 求数列解:设an?则 Sn?11?211?21,12?3,???,1n?n?1,???的前n项和.
n?n?1?12?3?n?1?n (裂项)
1n?n?1????? (裂项求和)
=(2?1)?(3?2)?????(n?1?n)=n?1?1 例8. 在数列{an}中,an?列{bn}的前n项的和. 解:
bn?12n2??????,又bn?,求数n?1n?1n?1an?an?1 ∵
an?12nn???????n?1n?1n?12 ∴
211?8(?) nn?1nn?1?221111111)] ∴ 数列{bn}的前n项和Sn?8[(1?)?(?)?(?)?????(?22334nn?118n) = =8(1? n?1n?1
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