高中数学选修 2-2 知识点
第一章 导数及其应用
一．
导数概念的引入
1. 导 数 的 物 理 意 义 ： 瞬 时 速 率 。 一 般 的 ， 函 数
y ? f (x) 在 x ? x0 处 的 瞬 时 变 化 率 是
?x?0
lim
f (x0 ? ?x) ? f (x0 )
，
?x
我们称它为函数 y ? f (x) 在 x ? x0 处的导数，记作 f ?(x0 ) 或 y? |x?， 0 x
即 f ?(x ) = lim f (x0 ? ?x) ? f (x0 )
0
?x?0
?x
2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点 Pn 趋近于 P 时，直线 PT 与曲线相切。容易
知道，割线 PP 的斜率是k ?
n
n
f (xn ) ? f (x0 )
x n ? x0
，当点 P 趋近于 P 时，函数 y ? f (x) 在 x ? x 处的导
n 0
数就是切线PT 的斜率 k，即 k ? lim f (xn ) ? f (x0 ) ? f ?(x )
?x?0
xn ? x0
0
3. 导函数：当 x 变化时， f ?(x) 便是 x 的一个函数，我们称它为 f (x) 的导函数. y ? f (x) 的导函数有
时也记作 y? ,即 f ?(x) ? lim 二.导数的计算
1） 基本初等函数的导数公式:
f (x ? ?x) ? f (x) ?x?0 ?x
1 若 f (x) ? c (c 为常数)，则 f ?(x) ? 0 ；
2 若 f (x) ? x,则 f ?(x) ? ? x
?
? ?1
;
3 若 f (x) ? sin x ,则 f ?(x) ? cos x
4 若 f (x) ? cos x ,则 f ?(x) ? ?sin x ;
5 若 f (x) ? a,则 f ?(x) ? aln a
x x
6 若 f (x) ? e,则 f ?(x) ? e ??
x x1 x ln a 1
8 若 f (x) ? ln x ,则 f ?(x) ? x
7 若 f (x) ? loga ,则 f ?(x) ??
x
2） 导数的运算法则
1. [ f (x) ? g(x)]? ? f ?(x) ? g?(x)
2. [ f (x) ? g(x)]? ? f ?(x) ? g(x) ? f (x) ? g?(x)
3. [
f (x)
]? ??f ?(x) ? g(x) ? f (x) ? g?(x) g(x) [g(x)]2
3） 复合函数求导
y ? f (u) 和u ? g(x) ,称则 y 可以表示成为 x 的函数,即 y ? f (g(x)) 为一个复合函数
y? ? f ?(g(x)) ? g?(x)
三.导数在研究函数中的应用 1. 函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：
在某个区间(a, b) 内，如果 f ?(x) ? 0 ，那么函数 y ? f (x) 在这个区间单调递增； 如果 f ?(x) ? 0 ，那么函数 y ? f (x) 在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数 y ? f (x) 的极值的方法是:
(1) 如果在 x0 附近的左侧 f ?(x) ? 0 ,右侧 f ?(x) ? 0 ,那么 f (x0 ) 是极大值; (2) 如果在 x0 附近的左侧 f ?(x) ? 0 ,右侧 f ?(x) ? 0 ,那么 f (x0 ) 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数
函数极大值与最大值之间的关系.
求函数 y ? f (x) 在[a, b] 上的最大值与最小值的步骤
（1） 求函数 y ? f (x) 在(a, b) 内的极值；
（2） 将函数 y ? f (x) 的各极值与端点处的函数值 f (a) ， f (b) 比较，其中最大的是一个最大值，最
小的是最小值.
四.生活中的优化问题
利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题
第二章 推理与证明
1、归纳推理
把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。 归纳推理的一般步骤：
? 通过观察个别情况发现某些相同的性质；
? 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）； ? 证明（视题目要求，可有可无）. 2、类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的一般步骤：
? 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
? 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ? 检验猜想。
3、合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.
归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理. 4、演绎推理
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理． 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.
演绎推理的一般模式———“三段论”，包括
⑴大前提 -- 已知的一般原理； ⑵小前提 -- 所研究的特殊情况； ⑶结论 ---据一般原理，对特殊情况做出的判断． 5、直接证明与间接证明
⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.要点：顺推证法；由因导果.
⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 要点：逆推证法；执果索因.
⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法. 反证法法证明一个命题的一般步骤： (1)（反设）假设命题的结论不成立；
(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止； (3)（归谬）断言假设不成立；
(4)（结论）肯定原命题的结论成立. 6、数学归纳法
数学归纳法是证明关于正整数 n 的命题的一种方法. 用数学归纳法证明命题的步骤; （1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值n0 (n0 ? N ) 时命题成立； * （2）（归纳递推）假设n ? k(k ? n 0 , k ? N ) 时命题成立，推证当n ? k ?1时命题也成立. *
只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从n0 开始的所有正整数n 都成立.
第三章 数系的扩充与复数的引入
一:复数的概念
(1) 复数:形如a ? bi(a ? R,b ?R) 的数叫做复数， a 和b 分别叫它的实部和虚部.
(2) 分类:复数a ? bi(a ? R,b ?R) 中,当b ? 0 ,就是实数; b ? 0 ,叫做虚数;当a ? 0,b ? 0 时,叫做纯虚数.
(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.
(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴，y 轴除去原点的部分叫做虚轴。 (6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。 2. 相关公式
⑴ a ? bi ? c ? di ? a ? b,且c ? d ⑵ a ? bi ? 0 ? a ? b ? 0 ⑶ z ? a ? bi ??a? b2 2
⑷ z ? a ? bi
z，z 指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数）.
3. 复数运算
⑴复数加减法： ?a ? bi?? ?c ? di? ? ?a ? c?? ?b ? d ?i ； ⑵复数的乘法： ?a ? bi??c ? di? ? ?ac ? bd ? ? ?bc ? ad ?i ；
a ? bi ?a ? bi??c ? di??? ⑶复数的除法：
c ? di ?c ? di??c ? di??
?
?
?ac ? bd ? ? ?bc ? ad ?i ? ac ? bd ? bc ? ad i
c2 ? d 2
c2 ? d 2
c2 ? d 2
（类似于无理数除法的分母有理化?虚数除法的分母实数化）
4. 常见的运算规律
(1) z ? z ;
2 (2)z ? z ? 2a, z ? z ? 2bi;
2 (3)z ? z ? z ? z ? a2 ? b2 ;(4)z ? z;(5)z ? z ? z ? R
(6)i4n?1 ? i,i4n?2 ? ?1,i4n?3 ? ?i,i4n?4 ?1;
2
(7) ?1? i??
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(9) 设? ?
高考数学最全总结高中数学选修2-2知识点总结清单
