广东省河源市2013届高三质量检测数学理科卷7
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合A?xx?2x?0?，B?x?1?x?1?, 则A2??B?
A．x0?x?1? B．x?1?x?0? C．x?1?x?1? D．x?1?x?2? 2. 若复数(1?i)(a?i)是实数(i是虚数单位)，则实数a的值为
A．?2 B．?1 C．1 D．2 3. 已知向量p??2,?3?,q??x,6?,且p//q，则p?q的值为
???? A．5 B．13 C．5 D．13 4. 函数y?x在区间?1,???上 lnx开始 输入n A．是减函数 B．是增函数 C．有极小值 D．有极大值 5. 阅读图1的程序框图. 若输入n?5, 则输出k的值为. A．2 B．3 C．4 D．5
k?0?a?b?6. “a?b” 是“???ab”成立的
?2? A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校, 要求每校 至少有一个名额且各校分配的名额互不相等, 则不同的分配方法种数为 A．96 B．114
2k＝k＋1 否 n?3n?1 n?150?是 输出k ,n 结束 C．128 D．136
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1图1 C1 D8. 如图2所示,已知正方体ABCD?A1BC11D1的棱长为2, 长 为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动, 另一端点N 在正方形ABCD内运动, 则MN的中点的轨迹的面积为 A．4? B．2? C．? D．
A1MB1DNABC? 2 图2 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）
9.为了了解某地居民月均用电的基本情况, 抽 取出该地区若干户居民的用电数据, 得到频 率分布直方图如图3所示, 若月均用电量在 区间?110,120?上共有150户, 则月均用电
频率组距0.0400.0350.0300.0250.020 量在区间?120,150?上的居民共有 户. 0.015
0.0100.00502100110120130140150月均用电量(度)图310. 以抛物线C:y?8x上的一点A为圆心作圆，若该圆经过抛物线C的顶点和焦点， 那么该圆的方程为 .
11. 已知数列?an?是等差数列, 若a4?2a6?a8?12, 则该数列前11项的和为 . 12. △ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知c?3,C? 则b的值为 .
?3, a?2b,
?2x?y?5,?13. 某所学校计划招聘男教师x名,女教师y名, x和y须满足约束条件?x?y?2,
?x?6.? 则该校招聘的教师最多是 名.
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（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14. (几何证明选讲选做题) 如图4, CD是圆O的切线, 切点为C, 点A、B在圆O上，BC?1,?BCD?30?，则圆O的面积为 . 15. (坐标系与参数方程选讲选做题) 在极坐标系中，若过点?1,0?且与 极轴垂直的直线交曲线??4cos?于A、B两点，则AB? . A 图4
OCBD三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）
已知函数f?x??2sinxcosx?cos2x(x?R). (1) 当x取什么值时,函数f?x?取得最大值,并求其最大值; (2) 若?为锐角，且f???
17.（本小题满分12分）
某企业生产的一批产品中有一、二、三等品及次品共四个等级，1件不同等级产品的利润 （单位：元）如表1，从这批产品中随机抽取出1件产品，该件产品为不同等级的概率如表2. 若从这批产品中随机抽取出的1件产品的平均利润(即数学期望)为4.9元.
等级 一等品 二等品 三等品 次品 利润 6 等级 一等品 二等品 三等品 次品 P 0.6 a ????2，求tan?的值. ??8?35 4 ?1 0.1 b 表1 表2 (1) 求a,b的值；
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(2) 从这批产品中随机取出3件产品，求这3件产品的总利润不低于17元的概率.
18.（本小题满分14分）
如图5，在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱AA1?底面ABC,AB?BC,D为AC的中点, A1A?AB?2.
(1) 求证：AB1//平面BC1D；
3 (2) 若四棱锥B?AAC11D的体积为, 求二面角C?BC1?D的正切值.
C1CB1DA1AB 图5
19.（本小题满分14分）
已知直线y??2上有一个动点Q,过点Q作直线l1垂直于x轴,动点P在l1上,且满足 OP?OQ(O为坐标原点),记点P的轨迹为C. (1) 求曲线C的方程；
(2) 若直线l2是曲线C的一条切线, 当点?0,2?到直线l2的距离最短时,求直线l2的方程.
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20.（本小题满分14分）
已知函数f?x??ax2?bx?c?a?0?满足f?0??0,对于任意x?R都有f?x??x,且 f???1??1??x??f???x?,令g?x??f?x???x?1???0?. ?2??2?(1) 求函数f?x?的表达式； (2) 求函数g?x?的单调区间；
(3) 研究函数g?x?在区间?0,1?上的零点个数.
21.（本小题满分14分）
已知函数y?f?x?的定义域为R, 且对于任意x1,x2?R,存在正实数L,使得 f?x1??f?x2??Lx1?x2都成立. (1) 若f?x??1?x,求L的取值范围；
2(2) 当0?L?1时，数列?an?满足an?1?f?an?，n?1,2,① 证明：
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?ak?1nk?ak?1?ak1a1?a2； 1?La?a2?② 令Ak?1k
?k?1,2,3,?，证明：?Ak?Ak?1k?1n?1a1?a2. 1?L·5·
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