中数学竞赛辅导资料（11）
二元一次方程组解的讨论
甲内容提要
?a1x?b1y?c11． 二元一次方程组?的解的情况有以下三种：
ax?by?c22?2① 当
a1b1c1??时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） a2b2c2a1b1c1??时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） a2b2c2a1b1?（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解： a2b2② 当
③ 当
c1b2?c2b1?x??a1b2?a2b1? ? （这个解可用加减消元法求得）
ca?ca?y?2112?a1b2?a2b1?2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当
己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3） 乙例题
例1. 选择一组a,c值使方程组??5x?y?7
?ax?2y?c① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解
解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c时，方程组有无数多解
解比例得a=10, c=14。
② 当 5∶a＝1∶2≠7∶c时，方程组无解。
解得a=10, c≠14。
③当 5∶a≠1∶2时，方程组有唯一的解，
即当a≠10时，c不论取什么值，原方程组都有唯一的解。
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例2. a取什么值时，方程组??x?y?a 的解是正数？
?5x?3y?31解：把a作为已知数，解这个方程组
31?3a??31?3ax??0???x?0??22得? ∵? ∴?
5a?315a?31y?0??y???0??2??2?a???解不等式组得??a???答：当a的取值为6
31113 解集是6?a?10 3153511?a?10时，原方程组的解是正数。 53例3. m取何整数值时，方程组??2x?my?4的解x和y都是整数？
?x?4y?18?x?1???m?8解：把m作为已知数，解方程组得?
?y?2?m?8?∵x是整数，∴m－8取8的约数±1，±2，±4，±8。
∵y是整数，∴m－8取2的约数±1，±2。 取它们的公共部分，m－8＝±1，±2。 解得 m=9，7，10，6。
经检验m=9，7，10，6时，方程组的解都是整数。
例4（古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？ 解：设桃，李，榄橄分别买x, y, z粒,依题意得
?x?y?z?100??(1)? 1?3x?4y?z?100(2)?7?由（1）得x= 100－y－z (3)
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把（3）代入（2），整理得 y=－200+3z－设
z 7z
?k(k为整数) 得z=7k, y=－200+20k, x=300－27k 7
100?k???300?27k?09??∵x,y,z都是正整数∴??200?20k?0解得?k.?10（k是整数）
?7k?0?k.?0???∴10＜k<11, ∵k是整数， ∴k=11
即x=3（桃）, y=20（李）, z=77（榄橄） (答略)
丙练习11
1． 不解方程组，判定下列方程组解的情况：
19?3x?5y?1?x?2y?3?2x?y?3① ? ②? ③?
3x?5y?13x?6y?94x?2y?3???2??x?3y?a?a?1?22． a取什么值时方程组??9x?6y?9a?2a?2的解是正数？
?x?2y?5?a3． a取哪些正整数值，方程组?的解x和y都是正整数？
3x?4y?2a?4． 要使方程组??x?ky?k的解都是整数， k应取哪些整数值？
?x?2y?15． （古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，
百钱买百鸡，鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？
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