华南师范大学历年考研数学分析高等代数试题汇总

华南师范大学历年考研数学分析高等代数试题

汇总

-CAL-FENGHAI.Network Information Technology Company.2020YEAR

2000年华南师范大学数学分析

一、填空题（3*10=30分）

n?1.设an?(?1)n?sin,n?1,2,?,则liman?_______,liman?_______；

n??n??4?x, x为有理数2.设f(x)?? x?R,则f(x)在x?____处连续；?x, x为无理数?nx3.limdx?_____; n???01?x14.lim(sinx?cosx)?_________;

x?01x5.方程x2?3x?c?0(c为实常数)在区间[0,1]中至多有_________个根； 6.设In??dx(n?1,n为自然数)，写出In?1的递推公式In?1?_________________;(x2?a2)nsinx?cosy07.设u(x,y)??f(t)dt,f(t)是可微函数，则du?___________;

8.设f(x,y)在P0(2,0)处可微，且在P0处指向P1(2,2)的方向导数是1，指向原点的方向导数是-3，则在P0处指向P2(1,2)的方向导数是_____________; 9.写出函数在x=0处的幂级数展开式：sin2x?________________________; 10.曲线x?acos3t,y?asin3t,0?t?2?的弧长s=___________________. 二、(12分)设f(x)在[0,+∞)上连续，limf(x)存在，证明：f(x)在[0,+∞)上可取

x???得最大值或最小值.

z三、(12分)设函数z=z(x,y),由方程x2?y2?z2?yf()所确定，其中f是可微函

y数，试证：

(x2?y2?z2)?z?z?2xy?2xz. ?x?y

1

四、（12分）求极限：lim(n??12n????). 222n?n?1n?n?2n?2n

lnb（a?1）?(b?1)lna. 五、（12分）已知a,b为实数，且1

六、(12分)计算曲面积分：I???xdydz?y2dzdx?z3dxdy.其中S是球面

Sx2?y2?z2?1的外侧.

七、(10分)设un(x)?0,在[a,b]上连续，n=1,2,…,?un(x)在[a,b]上收敛于连续函

n?1?数f(x),证明：?un(x)在[a,b]上一致收敛于f(x).

n?1?

2

2003年华南师范大学数学分析

111????). 一、(12分)求极限lim(n??1?33?5(2n?1)(2n?1)二、(12分)设D??(x,y):?1?x?1,?1?y?1?,求积分??y?x2dxdy.

D

三、(12分)证明?nx在[a,b]上一致收敛(其中，0

21四、(12分)求第二型曲线积分??y3dx?x3dy，其中，L:x2?2y2?1，取逆

L33时针方向。

五、(12分)f(x)是(a,+∞)上的连续函数，求证：如果lim?f(x)和limf(x)都存在

x?ax???(有限)，那么，f(x)在(a,+∞)上一致连续。问：逆命题是否成立？如成立，请证明之；否则，请举反例。 六、

3

七、(15分)设???af(x,y)dx关于y?[c,d]一致收敛，而且，对于每个固定的

y?[c,d]，f(x,y)关于x在[a,+∞)上单调减少。求证：当x???时，函数xf(x,y)

和f(x,y)关于y?[c,d]一致地收敛于0.

2004年华南师范大学数学分析

11.(12分)设an?(1?)n,n?1,2,?,证明数列?an?严格单调增加且收敛。

n

1?2?xsin, x?02.(12分)求函数f(x)??的导函数，并讨论导函数的连续性。 x? x?0?0,

[2?(?1)n]n13.(12分)求幂级数?(x?)n的收敛半径和收敛域。

n2n?1?

???x?0?1, 4.(12分)求函数f(x)??的Fourier级数，并由此求数列级数：

0, 0?x???1111?????(?1)n??的和。 352n?1

5.(12分)设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(0

?，??(a,b)，使得?f?(?)?

f?(?)(b?a)。

lnb?lna4