?ti 农业用水，年降水量，水资源总量，污水处理率，第三产业及生活等
其他用水，工业用水的白噪声，i?1,?,6
x0j 总用水量j?1,?,30 R 总人口 G1 GDP G2 人均GDP
五．模型建立与问题求解
一、问题一：
根据附表中信息，要求对北京市水资源短缺风险的主要风险因子进行判定，本文采用的是主成分分析法，主成分分析法是指标筛选最常用的方法之一，该方法的本质目的是对高位变量系统进行最佳综合与简化，同时客观地确定各个指标的权重，从而筛选出权重大的指标，确定主要风险因子。
根据题目所提供的数据以及搜集到的资料，我们确定的影响水资源短缺的因子有：常住人口，总用水量，农业用水，工业用水，第三产业及生活等其它用水，水资源总量，生产总值，人均生产总值，年降水量，污水处理率。（历年具体数据见附录）
利用SPSS软件进行主成分分析，由下表一知前三个特征值为6.787,1.797,0.774，累计贡献率E=（6.787+1.797+0.774）/10=93.585%>85%, 从而对前三个主成分进行综合分析比较好。
解释的总方差 初始特征值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 提取平方和载入 成份 合计 方差的 % 累积 % 合计 方差的 % 累积 % 6.787 67.873 67.873 6.787 67.873 67.873 1.797 17.970 85.843 1.797 17.970 85.843 .774 .385 .153 .074 .018 .011 .001 7.741 93.585 .774 3.848 97.433 1.535 98.967 .735 99.703 .176 99.878 .112 99.991 .009 100.000 7.741 93.585 10 7.842E-6 7.842E-5 100.000 提取方法：主成份分析。 表一 解释的总方差
成份得分系数矩阵 1 成份 2 3 人口规模 .144 .026 .119 总用水量 -.099 -.288 .588 农业 工业 -.106 -.280 .577 -.131 .060 -.298 第三产业 .135 .002 .125 水资源总量 -.071 .413 .508 生产总值 .142 .022 .261 人均 .144 .012 .224 年降水量 -.061 .469 .273 污水处理 .142 -.007 .209 提取方法 :主成分分析法。
表二 成分得分系数矩阵
由表一中特征值得主成分一占的权重为?1?6.787/(6.787?1.797?0.774)?0.73，主成分二占的权重为?2?1.797/(6.787?1.797?0.774)?0.19 主成分三占的权重为?3?0.774/(6.787?1.797?0.774)?0.08
由表二中各风险因子在各主成分中的得分系数乘以各主成分的权重可得风险因子对水资源短缺的影响大小如下表：
风险因子 人口规模 总用水量 农业用水 工业用水 -0.0604 -0.0844 -0.0799 0.1196 影响大小
第三产业及生活等其它0.10893 用水 水资源总量 生产总值 人均生产总值 年降水量 污水处理率 表三 各风险因子影响大小
因此，影响水资源短缺风险的主要风险因子有：人口规模，生产总值，人均生产总值，污水处理率，第三产业及生活等其它用水。 二、问题二： 对于问题二，同样使用主成分分析的方法。由问题一中的各个主成分的权重可得水资源风险的综合评价指标：
0.119 0.0664 0.1253 0.1287 0.0673 Y?0.73?1?0.19?2?0.08?3
其中?1,?2,?3分别为主成分分析中的主成分因子。Y为综合评价的指标。 对于?1,?2?3而言由成分得分系数矩阵可得：
?1?0.144z1?0.099z2?0.106z3?0.131z4?0.135z5?0.071z6?0.142z7?0.144z8?0.061z9?0.142z10
?2?0.026z1?0.288z2?0.28z3?0.06z4?0.002z5?0.413z6?0.022z7?0.012z8?0.469z9?0.007z10?3?0.119z1?0.588z2?0.577z3?0.298z4?0.125z5?0.508z6?0.261z7
?0.224z8?0.273z9?0.209z10 其中z1...z10为历年各个指标的标准化值。 则综合评价指标为：
Y=0.1196z1?0.0799z2?0.0844z3?0.0604z4?0.1089z5?0.0673z6?0.1287z7
?0.1253z8?0.0664z9?0.119z10
用SPSS标准化数据后代入上式计算得各年综合风险如下：
年份 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 评价-0.60 -1.03 -0.96 -0.77 -0.79 -0.58 -0.23 -0.30 指标 年份 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 评价-0.70 -0.33 -0.26 -0.50 -0.53 -0.13 -0.11 -0.15 指标 年份 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 评价-0.07 -0.22 0.30 -0.49 0.68 0.87 1.03 1.20 指标 表四 各年综合风险
由此将风险分为五个等级： 高风险 较高风险 中风险 较低风险 [0.7,?) [0,0.7) 1987 1988 -0.06 -0.41 1997 1998 -0.05 -0.27 2007 2008 1.46 1.77 低风险 (??,?0.7] [?0.3,0) [?0.7,?0.3) 表五 风险等级
依此求得各年风险如下：
等级 年份（Si）
高风险 2004 2005 2006 2007 2008
较高风险 2001 2003
中风险 1985 1987 1991 1941 1994 1995
1996 1997 1998 1999 2000
较低风险 1979 1984 1986 1988 1990 1992 1993 2002
低风险 1980 1981 1982 1983 1989
表六 各年等级归类
通过以上可以看出，近几年北京市水资源短缺风险一直在加大。通过第一题对影响风险的因子判断可以看出，由于近几年北京市人口规模不断增大，经济发展越来越迅速，导致水资源短缺风险加大。为降低风险北京市应当控制北京市的人口规模，尽量降低增长的趋势，加强对人口的管理，提倡人们节约用水。适当的外迁大型工业单位以便降低工业用水量。 三、问题三：
1. 时间序列模型：
时间序列模型是用随机过程理论和数理统计方法研究随机数据序列的规律的模型。本文利用时间序列自回归模型（AR模型），对农业用水、年降水量、水资源总量、污水处理率、第三产业及生活等其他用水以及工业用水进行了预测。 AR模型的基本形式：
在序列?xti?(i?1,?,6)中，描述序列?xti?(i?1,?,6)某一时刻t和前p个时刻序列 之间的关系表示为：
xti??1xti?1??2xti?2????pxti?p??ti(i?1,?,6)
其中序列??ti?是白噪声且和前一时刻序列?xti?(i?1,?,6)不相关，则这样的模型称为一阶自回归模型，记为AR（p）。在具体工作中，所要做的便是确定阶数p的值，并且估计参数?i(i?1,2,?,p)及??ti?的方差。
利用MATLAB软件（具体程序见附录）的p=3，时间序列模拟的曲线与原始曲线的比较见下图。
原始信号35原始信号LPC估计30 10.90.80.70.6预测误差的自相关函数25农业用水20归一化值1020年份1979+300.50.40.30.20.115105 00-40-200延迟2040
图一 预测农业用水与原始农业用水及其误差相关系数
数学建模水资源短缺论文(1)
