第一章 函数、极限与连续习题题解(P27)
一、判断题题解
1. 正确。设h(x)=f(x)+f(?x), 则h(?x)= f(?x)+f(x)= h(x)。故为偶函数。 2. 错。y=2lnx的定义域(0,+?), y=lnx2的定义域(??,0)∪(0,+?)。定义域不同。 3. 错。limx?01???。故无界。 2x4. 错。在x0点极限存在不一定连续。 5. 错。lim?x???1?0逐渐增大。 x6. 正确。设limf(x)?A，当x无限趋向于x0,并在x0的邻域内，有A???f(x)?A??。
x?x07. 正确。反证法：设F(x)=f(x)+g(x)在x0处连续，则g(x) =F(x)?f(x)，在x0处F(x)，f(x)均连续，从而g(x)在x=x0处也连续，与已知条件矛盾。 8. 正确。是复合函数的连续性定理。
二、选择题题解
1. f(x)?x2,?(x)?2x,f[?(x)]?2x2. y=x (C)
??2?22x (D)
1?0 (A)
x?0x1xsinx?0 (B) 4. limx?0cosx3. limxsinf(x)?lim(3x?1)?2, limf(x)?lim(3?x)?2, ?limf(x)?2?f(1) (B) 5. ?lim????x?1x?1x?1x?1x?16. 9?x?0?x?3 (D)
7. 画出图形后知：最大值是3，最小值是?10。 (A)
48. 设f(x)?x?x?1,则f(1)??1,f(2)?13，f(x)连续，由介质定理可知。 (D)
2三、填空题题解
1. 0?x?1?2?1?x?3
2. y?arctan(x3)是奇函数，关于原点对称。 3. ??12??6?。 ,T?3?4. x??y,可以写成y??x。
t2?1t?12?lim2? 5. 设x?t，x?1,t?1，lim3t?1t?1t?1t?t?1366. arctanx??2有界，lim1?0，故极限为0。 x??xx2?4x?2?lim?4 7. limx?2sin(x?2)x?2sin(x?2)x?28. x2?ax?b?(1?x)(?x?c)?x2?(c?1)x?c?b?c,a??(c?1),而lim(?x?c)?5，得c=6, 从而
x?1b=6, a=?7。
1x1?sinx??sinxx9. lim(1?sinx)?lim(1?sinx)x?0x?0?e?1
tan2xsin2xsin2x5x122?lim?lim????
x?0sin5xx?0cos2x?sin5xx?02xsin5xcos2x55u1111. 设u=ex?1，lim?lim??1 1u?0ln(u?01?u)lneln(1?u)u10. limx(a?x)?a?lime?1，得：a=1。 12. 由x?0处连续定义，lim??x?0x?0四、解答题题解 1. 求定义域 (1) ??x??x?0x?0??, 定义域为[1,??)和x=0 ?x?0?x(x?1)?0?x?1?1??4?x?6(2) ?5????5?x?5?定义域为[?4,5]
?2?25?x?0?(3) 设圆柱底半径为r，高为h，则v=?r2h, h?v?2v?2，则罐头筒的全面积S?2?r?2?rh?2??r??，?r2r??其定义域为(0,+?)。
(4) 经过一天细菌数为N1?N0?N0r?N0(1?r)，经过两天细菌数为N2?N1?N1r?N1(1?r)?N0(1?r),故
2经过x天的细菌数为N?N0(1?r)x，其定义域为[0,+?)。 2. f(x)?x?2?2?2a?b?2??4，f(a?b)? (a?b??1)。 ，f(?2)?x?1?2?1a?b?133. y?eu,u?v,v?sint,t?1。 x4. 证明：f[x(x?1)]?lnx(x?1)?lnx?ln(x?1)?f(x)?f(x?1)。
?(t?1)2 , 0?t?1?1?(t?1)2 , 1?t?25. 令x+1=t, 则x=t?1。f(x?1)?f(t)??，所以：??2(t?1) , 1?t?1?22(t?1) , 2?t?3???(x?1)2 , 1?x?2。 f(x)??2(x?1) , 2?x?3?6. 求函数的极限
12n?14(1) 原式=lim1?1/2?。
n??11?n?1331?1/31?(2) 原式=lim??1???n????1?1??11?1????1=lim1?????????1。 ??????n???2??23??n?1??nn?1??3?(1?x?x2)(1?x)(2?x)2?xlim?lim?1。 (3) 原式=lim=
x?1x?1(1?x)(1?x31?x?x2)x?11?x?x2?2?2???33(4) 原式=lim??n?3。
n???2????1?3?2sin2xsinxsin2xsinxlim4???4。=（P289常见三角公式提示）
x?0x?0x22xx1arcsinxarctanxarcsinxt??lim?1 (6) 原式=lim，令arcsinx?t，则sint?x，limx?0x?0t?02xxxsintarctanxtt1?lim?lim?cost?1，原式=。 令arctanx?t，则tant?x，limx?0t?0tantt?0sintx2(5) 原式=lim(7) 原式=lim1?3tanxx?0n?2?1?33tan2x?=?lim1?3tan2x?x?0??13tan2x??= e3。 ?3(8) 原式=lim?1??x???2??2x?1?2x?1?2?122x?1?1??2?2?2????=?lim?1??lim?1?= e2。 ????x???2x?1??x???2x?1???2
医学高等数学习题解答(1-2-3-6).
