最新高中数学奥林匹克模拟真题（四）
一、填空题：
?3x?1,x为奇数?1．定义在正整数集合上的函数f(x)??x令x1?12,，
,x为偶数??2xn?1?f(xn),n?N?以数列{xn}的项为元素构成集合M,M有 个非空子集.
n?12．数列{an}是单调递增数列，且n?N时an?2?3an?1，则首项a0? .
?3．如果tanx1?tanx2???tanx2000?1，那么sinx1?sinx2???sinx2000的最大值是 .
4．一个圆周上有9个点，以这9个点为顶点作3个三角形.当这3个三角形无公共顶点且边互不相交时，我们把它称为一种构图.满足这样条件的构图共有 种.
5．在边长为1的正方体C内，作一个内切大球O1，再在C内的一个角项内，作一个小球O2，使它与大球O1外切，同时与正方体的三个面都相切.那么，球O2的表面积为 .
326．已知p(x)?ax?bx?cx?d是一个三次多项式，满足p()?p(?)
1212?1000p(0).设x1,x2,x3是p(x)的3个根，则
111??的值为 . x1x2x1x3x2x37．如果|sin??pcos??q|? .
?2?1对于任意的??[0,]恒成立，则p?q= 228．把从1001至2000的所有正整数任作一个排列，都可以从其中找出连续的10项，使这10项之和大于或等于A，则最大的正数A为 .
二、解答题：共56分，第9题16分，第10、11题各20分. 9．如图所示，双曲线x?y?a的一条准线与实轴相交于点A，过点A引一条直线和双曲线交于M、N两点，又过右焦点F2222引一条垂直于MN的直线和双曲线交于P、Q两点.求证：|F2Q|?|F2P|?2|AM|?|AN|.
3x2?x10．设x、y、z均取正实数，且x?y?z?1.求三元函数f(x,y,z)? +21?x3y2?y3z2?z的最小值，并给出证明. ?221?y1?z11．已知函数f(n)是定义在N上的严格增函数，其值域也在N之中，且满足
??f(f(n))?3n.求f(2011).
二试试题
一、如图1，已知ABCD是平行四边形，但非矩形和菱形，CE?AB于E,CF?AD于F，连结FE,DB并延长交于点P.求证：PC?AC.
二、设k?N，定义：A1?1，An?1?nAn?2(n?1)2k?（n?1,2,?）
n?2证明：当n?1时，An为整数，且An为奇数当且仅当n?1或2(mod4)
三、求所有素数p，使得存在一个奇数n和一个整系数多项式Q(x)使得方程
1?pn??Q(xi)?0至少有一个整数根.
2i?12p?2四、将数1,2,?,mn以任意方式填写于一张m行n列的方格表?中，至少有ab个数被染成了红蓝双色.
2012年高中数学奥林匹克模拟真题（四）答案
一、填空题： 1．127.
计算可得x2?6,x3?3,x4?8,x5?4,x6?2,x7?1,x8?2,x9?1,?,以下均为2,1的循环.所以，集合M?{12,6,3,8,4,2,1}，它有7个元素，有2?1?127个非空子集.
72．.
152n2n?12n1??3(an?1?)，故an??(?3)n(a0?)， 由已知有an?5555从而
an?an?12n?13?[1?4(?)n?1(1?5a0)].
52若1?5a0?0，则对充分大的偶数n,anan?1?0； 若1?5a0?0，则对充分大的奇数n,anan?1?0. 因此，a0?1时，数列{an}不是单调递增数列. 512n?1??0，数列{an}是单调递增数列. 当a0?时，对一切n?N，有an?an?1?553．
121000.
nx2·?tanx2000?1，得 由tanx1·sinx1?sinx2???sinx2000
=cosx1?cosx2???cosx2000. 从而22000(sinx1?sinx2???sinx2000)2
sin2x2·?sin2x2000?1， ?sin2x1·?sinx2000?故sinx1?sinx2·121000.
等号可以成立，如x1?x2???x2000??4?sinx2000的最大值为.故sinx1?sinx2·121000.
4.12.
记这9个点依次为A1,A2?,A9. 分两种情形：
（1）把9个点分成3组，每相邻3个点为一组构成一个三角形（如图1），则这样的3个三角形无公共点且边互不相交.由于这样的分组方法只有3种，所以共有3种构图.
（2）从9个点任取相邻2点，再左右各间隔3点取其边所对顶点，此3点构成一个三角形，该三角形同侧的3个点构成一个三角形（如图2），则这样的3个三角形无公共顶点且边互不相交.由于从9个点中任取相邻2点的取法有9种，所以共有9种构图.
综合（1）、（2）知，共有12种构图. 5．(7?43)?.
如图3所示，设球O2的半径为r，且设球O2作在?D?内，则O1、O2在对角线BD?上.
设?AD?B??，则sin??1. 3作O2E?AD?，在?D?EO2中，D?O2?r1?3r，O1O2?r?. sin?2于是，2[3r?(r?)]?BD??123，
所以r?2?3. 22球O2的表面积为4?r?(7?43)?.
6．1996.
由p()?p(?)?1000p(0)可得
12121bb?2d?1000d，所以?1996. 2d因为x1,x2,x3是p(x)?ax?bx?cx?d的3个根，由根与系数的关系可得
32bx1?x2?x3??，
ax1x2x3?(?1)3?因此
d. abadax?x2?x3111???1=x1x2x1x3x2x3x1x2x32?1. 2??(?1)3?b?1996. a7．
设cos??x，则问题等价于：对任意x?[0,1]，有1?x?(px?q)?令y1?px?q,y2?1?x2. 于是，y2?22?1. 22?12?1?y1?y2?. 22故直线
l:y?px?q夹在曲线
C1:y?1?x2?x?12与
C2:y?1?x2?2?1之间（如图4）. 22?1），A、B表2易知O?B?2.于是，O?到AB的距离为1（O?的坐标为（0，?示弧C2的两个端点）.
显然，直接AB（方程为x?y?2?1?0）与曲线C1相切，是可以夹在曲线C1与22?1，所以p?q?22?1. 2曲线C2之间的惟一直线，故l即为AB，故p??1,q?8．15005.
设b1,b2,?,b1000是1001，1002，2000的任一个排 Si?bi?bi?1???bi?9
数学联赛考前练习题六套
