第2讲 三角恒等变换与解三角形
利用三角恒等变换化简、求值
[核心提炼]
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β； tan α±tan β(3)tan(α±β)＝.
1?tan αtan β2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα； 2tan α(3)tan 2α＝. 21－tanα[典型例题]
π?7π?43?? (1)已知cos?θ－?＋sin θ＝，则sin?θ＋?的值是( ) 6?6?5??443443
A． B． C．－ D．－ 5555(2)若sin 2α＝的值是( )
A.C.
7π
4
5π7π
或 44
B.D.9π
45π9π或 44
3π?510?π??，sin(β－α)＝，且α∈?，π?，β∈?π，?，则α＋β2?510?4??
2
2
2
2
π?43?【解析】 (1)因为cos?θ－?＋sin θ＝，
6?5?所以
3343
cos θ＋sin θ＝， 225
3?1?43即3?cos θ＋sin θ?＝，
2?2?5π?43?即3sin?θ＋?＝， 6?5?π?4?所以sin?θ＋?＝， 6?5?
- 1 -
7π?π?4??所以sin?θ＋?＝－sin?θ＋?＝－.故选C. 6?6?5??
5?π??π??π?(2)因为α∈?，π?，所以2α∈?，2π?，又sin 2α＝，故2α∈?，π?，α5?4??2??2?∈?
?π，π?，所以cos 2α＝－25.又β∈?π，3π?，故β－α∈?π，5π?，于是cos(β???22?4?5?42?????
310
，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2α10
－α)＝－
25?310?51027π?5π，2π?，
sin(β－α)＝－×?－－×＝，且α＋β∈?故α＋β＝. ??51024?4??10?5
【答案】 (1)C (2)A
三角函数恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sinθ＋cosθ＝tan 45°等；
(2)项的分拆与角的配凑：如sinα＋2cosα＝(sinα＋cosα)＋cosα，α＝(α－β)＋β等；
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．
[对点训练]
1．(2019·杭州市高三模拟)函数f(x)＝3sin cos＋4cos (x∈R)的最大值等于( )
222A．5 5
C． 2
9B． 2D．2
2
2
2
2
2
2
2
xx2
x解析：选B.因为f(x)＝3sin cos ＋4cos
222435?3?＝sin x＋2cos x＋2＝?sin x＋cos x?＋2
522?5?5
＝sin(x＋φ)＋2， 2
43
其中sin φ＝，cos φ＝，
559
所以函数f(x)的最大值为.
2
2．(2019·浙江五校联考)已知3tan ＋tan＝1，sin β＝3sin(2α＋β)，则tan(α22＋β)＝( )
- 2 -
xx2
xα2
α4A. 32C．－
3
4B．－
3D．－3
解析：选B.因为sin β＝3sin(2α＋β)， 所以sin[(α＋β)－α]＝3sin[(α＋β)＋α]，
所以sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)·cos α＋3cos(α＋
β)sin α，所以2sin(α＋β)cos α＝－4cos(α＋β)sin α，
sin（α＋β）4sin α所以tan(α＋β)＝＝－＝－2tan α，
cos（α＋β）2cos α又因为3tan＋tan＝1，所以3tan＝1－tan，
2222
224
所以tan α＝＝，所以tan(α＋β)＝－2tan α＝－.
332α1－tan2
1
3．(2019·宁波诺丁汉大学附中高三期中检测)若sin(π＋x)＋cos(π＋x)＝，则sin 2x21＋tan x＝________，＝________．
π??sin xcos?x－?4??
1
解析：sin(π＋x)＋cos(π＋x)＝－sin x－cos x＝，
21
即sin x＋cos x＝－，
2
122
两边平方得：sinx＋2sin xcos x＋cosx＝，
413
即1＋sin 2x＝，则sin 2x＝－，
44
1＋tan xsin x1＋cos x2tan
α2
αα2
αα由
?π?sin xcos?x－?4??
＝
2
sin x（cos x＋sin x）2
＝
2222282
＝＝＝－.
sin xcos xsin 2x33
－4
382
答案：－ －
43
- 3 -
利用正、余弦定理解三角形
[核心提炼]
1．正弦定理及其变形
在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2Rsin A，
sin Asin Bsin Csin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．
2R2．余弦定理及其变形
在△ABC中，a＝b＋c－2bccos A；
2
2
2
abcab2＋c2－a2
变形：b＋c－a＝2bccos A，cos A＝.
2bc2
2
2
3．三角形面积公式
S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B.
[典型例题]
(1)(2018·高考浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝7，
121212
b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________．
(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B. ①证明：A＝2B；
2
②若cos B＝，求cos C的值．
3
32×
2bsin A【解】 (1)因为a＝7，b＝2，A＝60°，所以由正弦定理得sin B＝＝＝
a721212222
.由余弦定理a＝b＋c－2bccos A可得c－2c－3＝0，所以c＝3.故填： 3. 77(2)①证明：由正弦定理得sin B＋sin C ＝2sin Acos B，
故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋ sin Acos B＋cos Asin B，于是sin B＝sin(A－B)． 又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π， 所以B＝π－(A－B)或B＝A－B， 因此A＝π(舍去)或A＝2B， 所以A＝2B.
25②由cos B＝得sin B＝，
33
- 4 -
12
cos 2B＝2cosB－1＝－，
9145
故cos A＝－，sin A＝，
99
22
cos C＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B＝.
27
正、余弦定理的适用条件
(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应利用正弦定理． (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应利用余弦定理．
[对点训练]
1．(2019·高考浙江卷)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________．
AB4BC解析：在Rt△ABC中，易得AC＝5，sin C＝＝.在△BCD中，由正弦定理得BD＝
AC5sin∠BDC×sin∠BCD＝
32
423272π
sin ∠BCDcos∠BDC＋cos∠BCDsin∠BDC＝×＋×＝.又∠ABD＋∠DBC＝，所以
525210272
cos∠ABD＝sin∠DBC＝.
10
12272答案：
510
2．(2019·义乌高三月考)在△ABC中，内角A，B，C对应的三边长分别为a，b，c，且满足c?bcos A－?＝b－a. 2??
(1)求角B的大小；
1129
(2)若BD为AC边上的中线，cos A＝，BD＝，
72求△ABC的面积．
解：(1)因为c?bcos A－ ?＝b－a，
2??即2bccos A－ac＝2(b－a)， 所以b＋c－a－ac＝2(b－a)， 1π222
所以a＋c－b＝ac，cos B＝，B＝.
23
- 5 -
2
2
2
2
2
2
2
4122
×＝，sin∠DBC＝sin[π－(∠BCD＋∠BDC)]＝sin(∠BCD＋∠BDC)＝
525
?
a?22
?
a?22
2021高考数学二轮复习三角函数平面向量与复数第2讲三角恒等变换与解三角形教案
