几何最值问题（习题） 例题示范
例 1：如图，折叠矩形纸片 ABCD，使点 B 落在边 AD 上，折痕 EF 的两端分别在 AB，BC 上（含端点）．若 AB=6cm，BC=10cm， 则 AB' 的取值范围是 ．
B E A
【思路分析】
1. 明确目标，分析定点、动点
要求 AB' 的取值范围，即求 AB' 的最大值与最小值，定点是A， 动点是 B' ；
2. 分析动点的形成因素，寻找不变特征
动点 B' 是由点 B 折叠得到的，所以 B'E =BE， B'F =BF， 因为 AE+BE=6，CF+BF=10，
所以 AE ? B'E =6， CF ? B'F =10（不变特征）． 先求 AB' 的最大值：
把 AE，B'E ，AB' 放在一个三角形中，根据三角形三边关系： 两边之和大于第三边，可得： AB' < AE ? B'E ，即 AB' < 6 ， 如果 AB' 有最大值，则三角形三个顶点应该共线，即点 E 与点 A 重合，此时 AB'=6 ，由此可得， AB' ≤ 6 ，即 AB' 的最大值是 6． 再求 AB' 的最小值：
转化为求 B'D 的最大值，考虑把 B'D 放入 Rt△ B'DC 中，只需 B'C 最大即可，把 CF， B'F ， B'C 放在一个三角形中，根据三角形三边关系，类比上面求解 AB' 最大值的方法得到
B'C 的最大值为 10，由此得到 B'D 的最大值是 8，即 AB' 的最小值是 2．
综上， AB' 的取值范围是：2cm≤ AB' ≤ 6cm．
B'
D F
C
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3. 作出图形，验证是否符合题意．
B A(E)
F
C
B E
B' 图 1
D
A
B'
图 2
DC(F)
巩固练习
1 .
如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=4，点 M，N 分别在
边 AB，AC 上，将△AMN 沿 MN 翻折，点 A 的对应点为 A' ， 连接 BA' ，则 BA' 长度的最小值为 ．
A M
A'
B
2 .
C
如图，在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC=90°，AC=5，BC=4．过点 A 作直线 l 平行于 BC，折叠三角形纸片 ABC，使直角顶点 B 落在直线 l 上的点 P 处，折痕为 MN．当点 P 在直线 l 上移动时，折痕的端点 M，N 也随之移动，若限定端点 M，N 分别在 AB，BC 边上（包括端点）移动，则线段 AP 长度的最大值与最小值之差为 ．
A B
P N
C
l
N
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3 .
在锐角△ABC 中，AB=4，BC=5，将△ABC 绕点 B 按逆时针方
向旋转，得到△A1BC1．若 E 为线段 AB 的中点，则在△ABC绕点 B 按逆时针方向旋转的过程中，线段 EC1 长度的最大值是 ，最小值是 ．
C1
C B
如图，在△ABC 中，AB=5，AC=12，BC=13，P 为 BC 边上任一点，PE⊥AB 于点 E，PF⊥AC 于点 F，M 为 EF 中点，则线段 PM 长度的最小值为 ．
A B
P
C
4 .
5 .
正方形 ABCD 的边长为 a，P 是 BC 边上任意一点（可与 B， C 重合），B，C，D 三点到射线 AP 的距离分别是 h1，h2， h3，设 h1+h2+h3=y，则 y 的最大值是 ，最小值是
D A
C B
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几何最值问题(习题及答案)
