T024π24π2??23a0GMgR从而得
T?2πaRag 代入有关数据便可求得(22)式.
4. 在绕月圆形轨道上，根据万有引力定律和牛顿定律有
GMmm2π2?mr() (23) m 2rmTm这里rm?r?Hm是卫星绕月轨道半径，Mm是月球质量. 由(23)式和(9)式，可得
34π2rmM (24) Mm?2gR2Tm代入有关数据得 三、参考解答：
Mm?0.0124 (25) M足球射到球门横梁上的情况如图所示（图所在的平面垂直于横梁轴线）.图中B表示横梁
?为过横梁轴线并垂直于轴线的水平线；A表示足球，O2为的横截面，O1为横梁的轴线；O1O1?的夹角??表其球心；O点为足球与横梁的碰撞点，碰撞点O的位置由直线O1OO2与水平线O1O1示.设足球射到横梁上时球心速度的大小为v0，方向垂直于横梁沿水平方向，与横梁碰撞后球心速度的大小为v，方向用它与水平方向的夹角?表示?如图?.以碰撞点O为原点作直角坐标系Oxy，y轴与O2OO1重合.以??表示碰前速度的方向与y轴的夹角，以?表示碰后速度的方向与y轴(负方向)的夹角，足球被横梁反弹后落在何处取决于反弹后的速度方向，即角?的大小.
以Fx表示横梁作用于足球的力在x方向的分量的大小，Fy表示横梁作用于足球的力在y方向的分量的大小，?t表示横梁与足球相互作用的时间，m表示足球的质量，有
Fx?t?mv0x?mvx (1) Fy?t?mvy?mv0y (2) 式中v0x、v0y、vx和vy分别是碰前和碰后球心速度在坐标系Oxy中的分量的大小.根据摩擦定律有 Fx??Fy (3) 由（1）、（2）、（3）式得 ??v0x?vx (4)
vy?v0y根据恢复系数的定义有 vy?ev0y （5） 因tan?0?v0xv （6） tan??x （7） v0yvy由（4）、（5）、（6）、（7）各式得 tan??1?1?tan?0???1?? （8） e?e?由图可知 ????? （9）
若足球被球门横梁反弹后落在球门线内，则应有 ??90 (10) 在临界情况下，若足球被反弹后刚好落在球门线上，这时??90.由（9）式得
tan90???tan? (11) 因足球是沿水平方向射到横梁上的，故?0??，有
oo?o?11?1??tan????1?? (12) tan?e?e?这就是足球反弹后落在球门线上时入射点位置?所满足的方程.解（12）式得
?1??1?e??1???e2?2?1???4e?e??e? tan?? (13)
2代入有关数据得 tan??1.6 (14) o即 ??58 (15)
2现要求球落在球门线内，故要求??58 (16) 四、参考解答：
1. 当阀门F关闭时，设封闭在M和B中的氢气的摩尔数为n1，当B处的温度为T 时，压力表显示的压强为 p，由理想气体状态方程，可知B和M中氢气的摩尔数分别为 n1B?opVMpVB (1) n1M? (2)
RT0RT式中R为普适气体恒量.因 n1B?n1M?n1 (3) 解（1）、（2）、（3）式得
1n1R1VM?? (4) 或 TVBpVBT0T?pn1RVM?p (5) VBVBT0(4)式表明，
11与成线性关系，式中的系数与仪器结构有关.在理论上至少要测得两个已知pT11对的图线，就可求出系数. 由于题中己给出室温T0时的压强p0，故至少pT温度下的压强，作
还要测定另一己知温度下的压强，才能定量确定T与p之间的关系式.
2. 若蒸气压温度计测量上限温度Tv时有氢气液化，则当B处的温度T?Tv时，B、M 和E中气态氢的总摩尔数应小于充入氢气的摩尔数.由理想气体状态方程可知充入氢气的总摩尔
数
n2?p0?VB?VM?VE? （6）
RT0pvVB （7） RTv假定液态氢上方的气态氢仍可视为理想气体，则B中气态氢的摩尔数为 n2B?在（7）式中，已忽略了B中液态氢所占的微小体积.由于蒸气压温度计的其它都分仍处在室温中，其中氢气的摩尔数为
n2M?n2E?根据要求有
n2B?n2M?n2E?n2 （9） 解（6）、（7）、（8）、（9）各式得 VM?VE?pν?VM?VE? （8）
RT0pvT0?p0TvVB (10)
?p0?pv?Tv代入有关数据得 VM?VE?18VB (11) 五、答案与评分标准：
1．
22?1?2?2?0.59(3分) 2 (2分)
2．如图(15分.代表电流的每一线段3分，其中线段端点的横坐标占1分，线段的长度占1分，线段的纵坐标占1分)
4 3 2 1 O -1 -2 -3 -4 I/ne0.83 1.17 1 2.00 2 2.83 3 4.00 4 x/s
六、参考解答：
如果电流有衰减，意味着线圈有电阻，设其电阻为R，则在一年时间t内电流通过线圈因发热而损失的能量为
?E?IRt （1） 以??表示铅的电阻率，S表示铅丝的横截面积，l 表示铅丝的长度，则有???????R??2l????????????????（2）?S电流是铅丝中导电电子定向运动形成的，设导电电子的平均速率为v，根据电流的定义有???????????????????????????????????????????????I?Svne????????????????????（3）?
所谓在持续一年的时间内没有观测到电流的变化，并不等于电流一定没有变化，但这变化不会超过电流检测仪器的精度?I，即电流变化的上限为?I?1.0mA.由于导电电子的数密度n是不变的，电流的变小是电子平均速率变小的结果，一年内平均速率由v变为 v-?v，对应的电流变化 ?I?neS?v （4）
导电电子平均速率的变小，使导电电子的平均动能减少，铅丝中所有导电电子减少的平均动能为 ?Ek?lSn?mv??1?2212?m?v??v?? 2? ?lSnmv?v （5）
由于?I< ?Ek??E （7） 由(1)、(2)、(6)、(7)式解得 ??mΔI （8） 2neIt式中 t?365?24?3600s=3.15?10s （9） 在（8）式中代入有关数据得 ??1.4?10所以电阻率为0的结论在这一实验中只能认定到 ?267Ω?m (10) ??1.4?10?26Ω?m (11) 七、参考解答： 按照斯特藩-玻尔兹曼定律，在单位时间内太阳表面单位面积向外发射的能量为 4 Ws??Ts (1) 其中?为斯特藩-玻尔兹曼常量，Ts为太阳表面的绝对温度.若太阳的半径为Rs，则单位时间内整个太阳表面向外辐射的能量为 2 Ps?4πRsWs (2) 单位时间内通过以太阳为中心的任意一个球面的能量都是Ps.设太阳到地球的距离为rse，考虑到地球周围大气的吸收，地面附近半径为R的透镜接收到的太阳辐射的能量为 P?πR2?1???Ps (3) 24πrse薄凸透镜将把这些能量会聚到置于其后焦面上的薄圆盘上，并被薄圆盘全部吸收. 另一方面，因为薄圆盘也向外辐射能量.设圆盘的半径为RD，温度为TD，注意到簿圆盘 24有两亇表面，故圆盘在单位时间内辐射的能量为 PD?2?πRD??TD (4) 显然，当 PD?P (5) 即圆盘单位时间内接收到的能量与单位时间内辐射的能量相等时，圆盘达到稳定状态，其温度达到最高.由(1)、(2)、(3)、(4)、(5)各式得 ?RR? TD???1????Ts (6) 2rR??依题意，薄圆盘半径为太阳的像的半径Rs?的2倍，即RD?2Rs?.由透镜成像公式知 2s22seD214Rs?RsR? (7) 于是有 RD?2sf (8) rsefrse把(8)式代入(6)式得 TD???1?????R?Ts (9) 8f2??214代入已知数据，注意到Ts?(273.15?ts)K， TD=1.4×103K (10) 3o即有 tD?TD?273.15?1.1?10C (11) 八、参考解答： 1．根据爱因斯坦质能关系，3H和3He的结合能差为 ?B?mn?mp?m3H?m3Hec (1) 代入数据，可得 ?B?0.763MeV (2) 2．3He的两个质子之间有库仑排斥能，而3H没有.所以3H与3He的结合能差主要来自它们的库仑能差.依题意，质子的半径为rN，则3He核中两个质子间的库仑排斥能为 ??2e2 EC?k (3)若这个库仑能等于上述结合能差，EC??B，则有 2rNke2 rN? (4)代入数据，可得 rN?0.944fm (5) 2ΔB33．粗略地说，原子核中每个核子占据的空间体积是 (2rN).根据这个简单的模型，核子 数为A的原子核的体积近似为 33 V?A(2rN)?8ArN (6) 另一方面，当A较大时，有 V?4?3R （7） 31/3由（6）式和（7）式可得R和A的关系为 ?6?R????π?1/3rNA1/3?6??r0A1/3 (8) 其中系数 r0???rN (9) ?π?把(5)式代入(9)式得 r0?1.17fm (10) 由(8)式和(10)式可以算出 208Pb的半径 RPb?6.93fm (11)
第届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案
