天津市河东区2021届新第一次高考模拟考试数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知正三棱锥A?BCD的所有顶点都在球O的球面上，其底面边长为4，E、F、G分别为侧棱AB，且三棱锥A?BCD的体积是三棱锥O?BCD体积的4倍，AC，AD的中点.若O在三棱锥A?BCD内，
则此外接球的体积与三棱锥O?EFG体积的比值为（ ） A．63? 【答案】D 【解析】 【分析】
如图，平面EFG截球O所得截面的图形为圆面，计算AH?4OH，由勾股定理解得R?B．83?
C．123?
D．243?
6，此外接球
的体积为【详解】
2462，得到答案. ?，三棱锥O?EFG体积为
33如图，平面EFG截球O所得截面的图形为圆面.
正三棱锥A?BCD中，过A作底面的垂线AH，垂足为H，与平面EFG交点记为K，连接OD、HD. 依题意VA?BCD?4VO?BCD，所以AH?4OH，设球的半径为R， 在RtVOHD中，OD?R，HD?21R343OH?OA?，， BC?33332??43R??2462?由勾股定理：R??，解得，此外接球的体积为?， R?6??3???33????由于平面EFG//平面BCD，所以AH?平面EFG， 球心O到平面EFG的距离为KO， 则KO?OA?KA?OA?12R6， AH?R?R??2333113262， ??4??34433所以三棱锥O?EFG体积为?所以此外接球的体积与三棱锥O?EFG体积比值为243?. 故选：D.
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
uuuvuuuvuuuvuuuv2．若|OA|?1，|OB|?3，OA?OB?0，点C在AB上，且?AOC?30?，设uuuvuuuvuuuvmOC?mOA?nOB(m,n?R)，则的值为（ ）
nA．
1 3B．3 C．
3 3D．3
【答案】B 【解析】 【分析】
利用向量的数量积运算即可算出． 【详解】
解：Q?AOC?30?
uuuruuur3 ?cos?OC,OA??2uuuruuurOC?OA3?uuuruuur?
2OCOAuuuruuurmOA?nOB?uuuruuurmOA?nOB??uuur?OA3uuur?
2OAuuur2uuuruuurmOA?nOB?OA3?? uuur2uuuruuuruuur2uuur222mOA?2mnOA?OB?nOBOAuuuruuuruuuruuurQOA?1，OB?3，OA?OB?0
?mm2?3n2?3 2?m2?9n2
又QC在AB上
?m?0，n?0
?m?3 n故选：B 【点睛】
本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用． 3．已知集合A?xx?2x?3?0B?xx＜2，则AIB?( ) A．?1,3? 【答案】C 【解析】 【分析】
解不等式得出集合A，根据交集的定义写出A∩B． 【详解】
集合A＝{x|x2﹣2x﹣3?0}＝{x|﹣1?x?3}，
B．?1,3?
C．??1,2?
D．??1,2?
?2???1?x<2} B={xx<2}，?A?B?{x|﹣故选C． 【点睛】
本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．
4．小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30?7:30之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上7.00?8:00之间.用A表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为x，小 张离开家的时间为y，(x,y)看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A的概率P(A)等于（ ）
A．
5 8B．
2 5C．
3 5D．
7 8【答案】D 【解析】 【分析】
这是几何概型，画出图形，利用面积比即可求解. 【详解】
解：事件A发生，需满足x?y，即事件A应位于五边形BCDEF内，作图如下：
1111???222?7 P?A??18故选：D 【点睛】
考查几何概型，是基础题.
5．三棱锥S?ABC的各个顶点都在求O的表面上，且?ABC是等边三角形，SA?底面ABC，SA?4，
AB?6，若点D在线段SA上，且AD?2SD，则过点D的平面截球O所得截面的最小面积为（ ）
A．3? 【答案】A 【解析】 【分析】
由题意画出图形，求出三棱锥S-ABC的外接球的半径，再求出外接球球心到D的距离，利用勾股定理求得过点D的平面截球O所得截面圆的最小半径，则答案可求. 【详解】
B．4?
C．8?
D．13?
2如图，设三角形ABC外接圆的圆心为G，则外接圆半径AG=?33?23, 3设三棱锥S-ABC的外接球的球心为O，则外接球的半径R=取SA中点E，由SA=4，AD=3SD，得DE=1, 所以OD=?23?2?22?4
?23?2?12?13.
则过点D的平面截球O所得截面圆的最小半径为42?所以过点D的平面截球O所得截面的最小面积为????1322?3 ?3??3?
故选：A 【点睛】
本题考查三棱锥的外接球问题，还考查了求截面的最小面积，属于较难题.
rrrr?6．已知a?(cos?,sin?)，b??cos(??),sin(??)?，那么agb?0是??k??(k?Z)的（ ）
4A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】B 【解析】 【分析】
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
由agb?0，可得cos2??0，解出即可判断出结论． 【详解】
rrrrrr解：因为a?(cos?,sin?)，b??cos(??),sin(??)?且agb?0
?cos?gcos(??)?sin?gsin(??)?cos2??sin2??cos2??0． ?2??2k???2，解得??k???4(k?Z)．
rr??agb?0是??k??(k?Z)的必要不充分条件．
4故选：B． 【点睛】
本题考查了向量数量积运算性质、三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
?1?7．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝???2?A．b＞c＞a 【答案】A 【解析】 【分析】
B．c＞b＞a
lnx，c＝elnx，则a，b，c的大小关系为（ ）
C．a＞b＞c
D．b＞a＞c
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】 ∵x∈（0，1）， ∴a＝lnx＜0，
天津市河东区2021届新第一次高考模拟考试数学试卷含解析
