力学WORD教案-CHAPTER3 弹性力学平面问题的有限元法
3 弹性力学平面问题的有限元法 本章包括以下的内容:
3.1弹性力学平面问题的基本方程 3.2单元位移函数 3.3单元载荷移置 3.4单元刚度矩阵
3.5单元刚度矩阵的性质与物理意义 3.6整体分析 3.7约束条件的处理
3.8整体刚度矩阵的特点与存储方法 3.9方程组解法
3.1弹性力学平面问题的基本方程
弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷作用下应力和变形分布规律的一门学科。在弹性力学中针对微小的单元体建立基本方程，把复杂形状弹性体的受力和变形分析问题归结为偏微分方程组的边值问题。弹性力学的基本方程包括平衡方程、几何方程、物理方程。
弹性力学的基本假定如下:
1)完全弹性，2)连续，3)均匀，4)各向同性，5)小变形。 3.1.1基本变量
弹性力学中的基本变量为体力、面力、应力、位移、应变，各自的定义如下。 体力
体力是分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。
面力
面力是分布在物体表面上的力，例如接触压力、流体压力。 应力
物体受到约束和外力作用，其内部将产生内力。物体内某一点的内力就是应力。
图3.1
如图3.1假想用通过物体内任意一点p的一个截面mn将物理分为?、?两部分。将部分?撇开，根据力的平衡原则，部分?将在截面mn上作用一定的内力。在mn截面上取包含
,A,Ap点的微小面积，作用于面积上的内力为。 ,Q
,A令无限减小而趋于p点时，的极限S就是物体在p点的应力。 ,Q ,Q lim,S,A,0,A
应力S在其作用截面上的法向分量称为正应力，用σ表示;在作用截面上的切向分量称为剪应力，用τ表示。
显然，点p在不同截面上的应力是不同的。为分析点p的应力状态，即通过p点的各个截面上的应力的大小和方向，在p点取出的一个平行六面体，六面体的各楞边平行于坐标轴。
图3.2
将每个上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行。用六面体表面的应力分量来表示p点的应力状态。应力分量的下标约定如下:
第一个下标表示应力的作用面，第二个下标表示应力的作用方向。 ,，第一个下标x表示剪应力作用在垂直于X轴的面上，第二个下标y表示剪应力指xy
向Y轴方向。
,表示正应力作用于垂直于X轴正应力由于作用表面与作用方向垂直，用一个下标。x
的面上，指向X轴方向。 应力分量的方向定义如下:
如果某截面上的外法线是沿坐标轴的正方向，这个截面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正;
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