高中数学(2)教师手册 排 列 1
排 列
24 种；
abcd，abdc，acbd，acdb， adbc，adcb，bacd，badc， bcad，bcda，bdac，bdca， cabd，cadb，cbad，cbda， cdab，cdba，dabc，dacb， dbac，dbca，dcab，dcba。
教学眉批
将 n 个不同物品排成一列，需要决定 n 个位置，如下图。
第一个位置有 n 种方法，选定之后，
第二个位置有（n－1）种方法，选定之后，
第三个位置有（n－2）种方法，选定之后，以此类推，
第 n 个位置有 1 种方法，利用乘法原理得，将 n 个不同物品排成一列有 n×（n－1）×（n－2）×…×1（种方法）。
规定 0!＝1 的原因是为了排列与组合公式的完整性，在课本第 87 页有说明。
(1) 40320 种。 (2) 5040 种。
补充演练
甲、乙、丙、丁等四人组成一队参加一项四百公尺接力赛，每人跑一百公尺，要安排接棒的顺序，试问：
(1) 若任意安排，则有几种顺序？
(2) 若甲一定要排在第一棒，则有几种顺序？ 解 (1) 4!＝24 种。
(2) 甲在第一棒，其余三棒由乙、丙、丁任意排，有 3﹗＝6 种。
60 种。
教学眉批
从 n 个不同物品中选出 k 个（0 ≤ k ≤ n）来排成一列，需要决定 k 个位置，如下图，
高中数学(2)教师手册 排 列 2
第一个位置有 n 种选择，选定之后，第二个位置剩下（n－1）种选择， 依此类推，第 k 个位置剩下（n－（k－1））种选择，由乘法原理得， n 个不同物品中选出 k 个（0 ≤ k ≤ n）来排成一列的方法数有 n×（n－1）×（n－2）×…×（n－k＋1）种方法 。
(1) 60。 (2) 42。 (3) 720。
210 种。
补充演练
从 1，2，3，4，5，6 等6个数字中，任取 3 个不同的数字排成一个三位数，试求： (1) 可排出多少种不同的三位数？
(2) 承(1)，其中有多少个是 3 的倍数？ 解 (1) P36＝6×5×4＝120 种。
(2) 将数字分成三类：
从这三类中各选一数，排成三位数即为 3 的倍数，
故共有 2×2×2×3!＝48 种。
24 个。
补充演练
三男三女共六人排成一列，若规定男生不相邻且女生也不相邻，则有多少种排法？ 解 三男先排，三女再排入间隔中，共有两类如下所示：
或
因此共有 3!×3!＋3!×3!＝72 种。
384 种。
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补充演练
甲，乙，丙，丁，戊五人排成一列，试问： (1) 甲、乙相邻的排法有多少种？
(2) 甲、乙不相邻且丙、丁不相邻的排法有多少种？
解 (1) 先将甲、乙视为一体与其他 3 人排列，甲、乙再排列，共有 4!×2!＝48 种。
(2) 由补集与取舍原理，
所求为（全部排法）－（甲乙相邻）－（丙丁相邻）＋（甲乙相邻且丙丁相邻）
＝5!－4!×2!－4!×2!＋3!×2!×2!＝48 种。
14 次。 3 种。
补充演练
将 1，2，3，4，5 共 5 个数字排成一列，若要求 1 一定要排在 2 的左方，则共有多少种排法？
解 先排□□345，再将 1、2 填入□□中，
故共有
aaabb，aabab，abaab，baaab，baaba， babaa，bbaaa，abbaa，aabba，ababa。 10 种。
补充演练
小明想要安排从星期一到星期五共五天的午餐计划。他的餐点共有四种选择：牛肉面、大卤面、咖哩饭及排骨饭。小明想要依据下列两原则来安排他的午餐： (甲) 每天只选一种餐点但这五天中每一种餐点至少各点一次 (乙) 连续两天的餐点不能重复且不连续两天吃面食 根据上述原则，小明这五天共有几种不同的午餐计划？ (A) 52 (B) 60 (C) 68 (D) 76 (E) 84 解 依据两原则分类如下：
(1) 三天吃面两天吃饭： 面饭面饭面
2×3!×2!＝12 2!5!×1＝60 种排法。 2!
(2) 两天吃面三天吃饭 （先排饭，面排空隙）
高中数学(2)教师手册 排 列 4
①②③
：2×2×3＝12 ：2×2×3＝12 ：2×P2＝24
4所以，共有 12＋12＋12＋24＝60 种，故选(B)。
补充演练
有一片长方形墙壁，尺寸为 12×1，若有许多白色及咖啡色壁砖，白色壁砖尺寸为 2×1，咖啡色壁砖尺寸为 4×1，用这些壁砖贴满此长方形，则可贴成几种不同的图案？ 解 设需要 x 块白色，y 块咖啡色，则 2x＋4y＝12。
x，y 的解及排列方法列表如右：
故共有 1＋6＋5＋1＝13 种不同的图案。
x y 0 3 2 2 4 1 6 0
补充演练
下图为一含有斜线的棋盘形街道，今某人欲从 A 走最短路径到 B，共有多少种方法？
排列方法 3!＝1 3!4!＝6 2!2!5!＝5 4!1!6!＝1 6!
解 走最短路径的方法可分为两类：
(1) A→C→D→B。 (2) A→E→F→B。 仿例题 7 的作法，
4!3!方法(1)共有 ×1×＝18 种，
2!2!2!1!高中数学(2)教师手册 排 列 5
4!3!×1×＝12 种， 3!1!2!1!故共有 18＋12＝30 种。
方法(2)共有
26 条。
25 种；
aa，ab，ac，ad，ae， ba，bb，bc，bd，be， ca，cb，cc，cd，ce， da，db，dc，dd，de， ea，eb，ec，ed，ee。
补充演练
由 1，2，3，4，5，6 六个数字所组成（数字可重复）的四位数中，含有奇数个 1 的共有多少个？
解 依 1 的个数分类，
(1) 含 1 个 1 的共有 1□□□，□1□□，□□1□，□□□1 等 4 种， 每一种的三个空格中，可填入 1 以外的 5 个数， 因此有 5×5×5＝125 种，故有 4×125＝500 个数。
(2) 含有 3 个 1 的共有 111□，11□1，1□11，□111 等 4 种，
每一种的空格中可填入 1 以外的 5 个数，有 5 种方法，故共有 4×5＝20 个数。 由(1)、(2)可得含有奇数个 1 的共有 500＋20＝520 个。 106 组。
252 种。
补充演练
用 5 种不同的颜色涂下图，相邻区域不可同色，则有多少种涂法？
数学 教师手册 排列
