上海高二数学矩阵及其运算

矩阵及其运算

矩阵的概念

?512128??23m??23m1??1???????1、形如??、?363836?、?3?24?、?3?242?这样的矩形数表叫做矩阵。

?3??232128??41?n??41?n4????????b1???b2??2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量?a1,a2,???an?称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量称为????????bn?列向量；由m个行向量与n个列向量组成的矩阵称为m?n阶矩阵，m?n阶矩阵可记做Am?n，如矩阵??为

?1??3??512128???2?1阶矩阵，可记做A2?1；矩阵?363836?为3?3阶矩阵，可记做A3?3。有时矩阵也可用A、B等字母?232128???表示。

3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m?n阶矩阵Am?n中的第i（i?m）行第j（j?n）列数可用

?512128???字母aij表示，如矩阵?363836?第3行第2个数为a32?21。

?232128???4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如??000??为一个2?3阶零矩阵。

000??5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n行（列），可称此方阵为n?512128??23m?????阶方阵，如矩阵?363836?、?3?24?均为三阶方阵。在一个n阶方阵中，从左上角到右下角所有

?232128??41?n??????10?元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵??为2

01???100???阶单位矩阵，矩阵?010?为3阶单位矩阵。

?001???6、如果矩阵A与矩阵B的行数和列数分别相等，那么A与B叫做同阶矩阵；如果矩阵A与矩阵B是同阶矩阵，

当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A与矩阵B叫做相等的矩阵，记为A?B。

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?2x?3y?mz?1?23m????7、对于方程组?3x?2y?4z?2中未知数x,y,z的系数按原来的次序排列所得的矩阵?3?24?，我们叫

?41?n??4x?y?nz?4????23m1???做方程组的系数矩阵；而矩阵?3?242?叫做方程组的增广矩阵。

?41?n4???应用举例： 例1、已知矩阵A???x??2?x?yb?2a?且A?B，求a、b的值及矩阵A。 ?,B??2?x?y??2xa?2b??y

例2、写出下列线性方程组的增广矩阵：

?x?2y?3z?2?0?2x?3y?1?（1）?； （2）??x?3y?2z?5?0

?4x?y?6?2x?y?z?3?0?

例3、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：

?2?102?23?5????03?21（1）? （2）??? ?124???302?3???

例4、已知矩阵?

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?sin??cos??sin??cos?0????为单位矩阵，且?,??,??，求sin?????的值。 ??1??2?

矩阵的基本变换：

（1）互换矩阵的两行或两列；

（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数； （3）某一行乘以一个数加到另一行。

显然，通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。 应用举例：

?4x?3y?z?5?例1、用矩阵变换的方法解三元一次方程组?7x?2y?z?4的解。

?5x?2y?3z?8?

?ax?3y?2例2、运用矩阵变换方法解方程组：?（a、b为常数）

2x?y?b?

课堂练习：

用矩阵变换方法解下列问题：

?x?y?2（1）若方程组?的解x与y相等，求k的值。

?(k?1)x?(k?1)y?4

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?3x?2y?z?0?（3）解方程组：?x?y?2z?5

?5x?7y?8z??1?

矩阵运算

（对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内容.） 1．相等

定义 如果两个矩阵A?aij??m?n，B?bij??s?p满足：

(1) 行、列数相同，即 m?s,n?p；

(2) 对应元素相等，即aij = bij (i= 1, 2, ?, m；j = 1, 2, ?, n )， 则称矩阵A与矩阵B相等，记作 A = B

（由矩阵相等定义可知，用等式表示两个m?n矩阵相等，等价于元素之间的m?n个等式.）例如，矩阵

A =?那么A = B，当且仅当

a11 = 3，a12 = 0，a13 = -5，a21 = -2，a22 = 1，a23 = 4

而

C = ??a11?a21a12a22a13??30?5?， B = ???a23???214??c11?c21c12? ?c22?因为B, C这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵C中的元素c11, c12, c21, c22取什么数都不会与矩阵B相等.

2．加法

定义2.3 设A?aij

??m?n，B?bij??s?p是两个m?n矩阵，则称矩阵

?a11?b11?a?b2121C = ?????am1?bm1第 4 页

a12?b12a22?b22?am2?bm2a1n?b1n??a2n?b2n??

?????amn?bmn??

为A与B的和，记作

C = A + B = aij?bij

（由定义2.3可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.） 同样，我们可以定义矩阵的减法：D = A - B = A + (-B ) =aij?bij 称D为A与B的差. 例1 设矩阵A =?

?????30?4???234?， B =??0?31?，求A + B，A - B.

?25?1?????cos?cos?例2、矩阵A???tan?0??0?，B??1??tan??2????，C??10?tan?tan????1?0??0?C，??(0,)，，若A?B??27????????(,?)，求sin的值。

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矩阵加法满足的运算规则是什么？

设A, B, C, O都是m?n矩阵，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则 1. 加法交换律： A + B = B + A； 2. 加法结合律： (A + B ) + C = A + (B + C ) ； 3. 零矩阵满足： A + O = A； 4. 存在矩阵-A，满足：A -A = A + (-A ) = O .

3．数乘

定义2.4 设矩阵A?aij??m?n，?为任意实数，则称矩阵C?cij??m?n为数?与矩阵A的数乘，其中

cij??aij(i?1,2,?,m;j?1,2,?n)，记为

C =?A

（由定义2.4可知，数?乘一个矩阵A，需要用数?去乘矩阵A的每一个元素.特别地，当? = -1时，?A = -A，得到A的负矩阵.）

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