秒杀题型一：等差数列前n项和最大、最小值问题
秒杀策略：处理思路有三种： ①.当a1?0,d?0时，解不等式组??an?0，可得Sn取到最大值时n的值；
a?0?n?1?an?0当a1?0,d?0时，解不等式组?，可得Sn取到最小值时n的值；
a?0?n?1②.找到数列中的正负(或负正)转化项，即令an?0，求出n，如n为整数(即存在为零项)，则答案为两个，
an?1,an，如n不为整数(不存在为零项)，答案为一个，即n??an?0?(取整（或高斯)函数);
③.利用Sn?an?bn(二次函数)来求最值，但注意n取整数，不一定取对称轴，所以要看对称轴，当对称
21时，答案有两个，其余为一个。 224〖母题1〗（1）已知等差数列5,4,3,...的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.
77轴含有
（2）已知数列?2n?11?,那么Sn的最小值是 ( ) A.S1 B.S5 C.S6 D.S11
（3）已知等差数列?an?中,a1??3,11a5?5a8,求前n项和Sn的最小值.
（4）等差数列?an?的前n项和为Sn,已知S14?0,S15?0,则此等差数列的前n项和中,n是多少时取得最 大值?
1.(2010年新课标全国卷17)设等差数列?an?满足a3?5,a10??9. （1）求?an?的通项公式；
（2）求?an?的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值.
2.(2008年新课标全国卷)已知?an?是一个等差数列,且a2?1,a5??5. （1）求?an?的通项an；
（2）求?an?的前n项和Sn的最大值.
3.(2018年新课标全国卷II17)记Sn为等差数列?an?的前n项和,已知a1??7,S3??15． （1）求?an?的通项公式； （2）求Sn,并求Sn的最小值．
4.(高考题)已知?an?是等差数列,Sn是其前n项和,且S5?S6,S6?S7?S8,则下列结论错误的是 ( )
A.d?0 B.a7?0 C.S9?S5 D.S6?S7均为Sn的最大值 5.(高考题)设数列?an?是等差数列,且a2??6,a8?6,Sn是数列的前n项和,则 ( ) A.S4?S5 B.S4?S5 C.S6?S5 D.S6?S5
6.(高考题)已知?an?为等差数列,a1+a3+a5=105,a2?a4?a6=99,以Sn表示?an?的前n项和,则使得Sn 取到最大值的n是 ( )
A.21 B.20 C.19 D.18
7.(高考题)等差数列?an?的前n项和为Sn,若a1??11,a4?a6??6,则当Sn取最小值时,n等于 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9
8.(高考题)设Sn是公差为d(d?0)的无穷等差数列?an?的前n项和,则下列命题错误的是 ( )
A.若d?0,则数列?Sn?有最大项 B.若数列?Sn?有最大项,则d?0
? C.若数列?Sn?是递增数列,则对任意n?N，均有Sn?0 ? D.若对任意n?N，均有Sn?0,则数列?Sn?是递增数列
9.(高考题)等差数列?an?满足a7?a8?a9?0,a7?a10?0,则当n? 时,?an?的前n项和最大. 10.(高考题)在等差数列?an?中,a1?7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n?8时Sn取最大值,则d的取 值范围为_______.
秒杀题型二：等差数列中Sn取正、负时n的最值
秒杀策略：先确定数列中的正、负转化项，确定以正负转化项为中项的前n项和的正负，再判断其前后两 项和的正负即可。
1.(高考题)设?an?为等差数列,a1?0,a6?a7?0,a6.a7?0,则使其前n项和Sn?0成立的最大自然数是 .
2.(高考题)等差数列?an?中,a10?0,a11?0,且a11?a10,Sn为其前n项和,则使Sn?0的n的最小值为 .
3.(高考题)数列?an?是等差数列,首项a1?0,a2003?a2004?0,a2003.a2004?0,则使前n项和Sn?0成立的最大自 然数是 .
秒杀题型三：绝对值和最小及取到最小时n的值
秒杀策略：构造模型：一幢大楼共有n层，现从每层指定一人，共n个人集中到第k层开会，当k为何值时， 才能使这n位参加会议的人员上下楼梯所走的路程总和最少?(假定相邻两层楼梯的长都相等)
规律：应取中间一层，(如是奇数层，则中间层只有一层，如是偶数，,则中间层有两层，即中间两层均可。) 〖母题2〗已知函数f(x)?x?1?x?2?x?3?...?x?20,x?N且1?x?20: （1）分别计算f(1),f(5),f(20)的值;
（2）当x为何值时,f(x)取得最小值?最小值是多少?
?
1.(高考题）函数f(x)??x?i的最小值为 ( )
i?119 A.190 B.171 C.90 D.45
2.(高考题)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最．．小值为 （米）．
题型04 等差数列前n项和最大最小问题(原卷版)
