与以上迭代解相同，这表明用数值法确定的阵，能很好地逼近阵。
表6-4 拟牛顿法迭代计算
k 1 2 3 4 5 6 2.358884×10 3.739449×10 -6-7-0.031151858-0.003840766-0.000103474-0.221245771 0.856623242 58 35 25 -0.493631273-0.057527857-0.001561797-2.965959852 12.93742451 4 9 3 5.451669534 5.420543661 5.422705929 5.422744651 5.422744561 5.422744560 -0.255668770-0.255672093-0.255672085-0.255672084-0.256609692 -0.255545476 2 1 2 9 -40.62536846 -40.48402317 -40.63523365 -40.63548925 -40.6354928 -40.6354928 2.5022628 2.753000625 2.765194851 2.763778092 2.76373428 2.76373428 26.20604801 33.01991882 31.12556489 31.13656682 31.1394768 31.1394768 398.1482354 533.4314266 472.3603199 469.4625468 469.7401401 469.7401401 2.311619915 3.003695448 2.780051726 2.763839956 2.763740298 2.763740270 21.2196711 35.54791966 31.443537 31.13982534 31.13799006 31.13798972 289.8392513 546.7992839 475.1482883 469.7863468 469.7540942 469.7540898 4、高斯——牛顿法
以上介绍的几种方法，都是求目标函数的非线性最优化算法。与我们在《误差理
论与测量平差基础》中已掌握的平差方法相去甚远。而高斯-牛顿法则不同，几乎和我们已经掌握的平差方法相同。
高斯-牛顿法的基本出发点就是在初值法求出一次近似值
处对非线性模型进行线性近似。并按传统的平差方
的值相等，即
。
，然后反复迭代，直至前后两次
迭代步骤如下：假设非线性模型（6-2-2）式存在一阶连续偏导数，且参数X之间相互独立，则在近似值
处线性化，得误差方程：
式中： 为用按（6-3-2）式算得的误差方程系数矩阵。
根据最小二乘原理，有
求得后，再以为近似值继续迭代，其迭代公式为：
（6-3-25）
终止迭代条件：。
高斯-牛顿法具有一定的合理性。因为若（6-2-2）式是线性模型，则有=B，=B。于是：
上式表明：若（6-2-2）式是线性模型，则由高斯-牛顿法从任意初值出发，经一次迭代就可得到最小二乘平差的精确解。当非线性模型（6-2-2）式的非线性强度1[1][1]较弱时，高斯——牛顿法是较好的方法。
例6-5，设
模型的非线性最小二乘平差值。
按（6-3-25）式迭代的结果列于表6-5
，用高斯——牛顿法求解例6-1中非线性
表6-5 高斯——牛顿法迭代计算
k 1 2 3 4 5 5.394141331 5.422298989 5.422744502 5.422744573 5.422744573 -0.250050 -0.255618 -0.255672 -0.255672086 -0.255672086 -39.78568664 -40.62829761 -40.63549238 -40.6354928 -40.6354928
当时，迭代发散。这说明虽然高斯——牛顿法有一定
的合理性，但在具体执行时可能会产生一些问题。首先是对初值的依赖性较大。当初值较差时，会出现迭代发散现象，使迭代无法进行下去。好在我们在实际计算时，总是用观测值算出的初值
与X的真值很接近，故一般可迭代收敛。
，即如此求得
一、非线性最小二乘平差结果的统计性质
通过《误差理论与测量平差基础》的学习，我们知道在线性模型
中，当
服从正态分
布时，最小二乘估计量中，当中，当
和均为无偏估计。并且和均具有最小方差。即在线性模型
服从正态分布时，最小二乘估计量具有优良的统计性质。那么，在非线性模型仍服从正态分布时，非线性最小二乘估计量
和
和
是否还有这些优良统计性质呢？回答是否
和
的方差达不到最小值。
定的（参见文献[24]）。非线性最小二乘估计量
二、单位权中误差
为有偏估计，而且
文献[25]已推导出非线性模型平差中单位权方差权方差
的严密估计公式。由于非线性模型平差中单位
的严密估计公式非常复杂，建议在实际工作中仍用
（6-4-1）
去估计单位权方差
，并称（6-4-1）式为非线性模型平差中单位权方差的近似估计公式。
三、非线性函数的误差传播
为简单起见，仅讨论独立观测的情况。设独立观测向量的真值为值为
，观测值的真误差为
。其中
服从正态分布，即
，观测
现有独立观测向量的非线性函数
（6-4-2）
式中为常数。现要求根据独立观测向量L的方差来求非线性函数求非线性函数
的方差的方差
。这就是非，将（6-4-2）
线性函数的误差传播问题。为了根据观测向量L的方差式在观测值L处展为台劳级数，并取至二次项得：
式中：
（6-4-3）
令
对取数学期望，并顾及
（6-4-4）
得：
根据方差的定义知：
非线性最小二乘平差
