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2.2.2 椭圆的几何性质(二)
学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识． 知识点一 点与椭圆的位置关系
思考1 判断点P(1，2)与椭圆＋y＝1的位置关系．
4
x2
2
x2y2
思考2 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆2＋2＝1(a>b>0)的位
ab置关系的判定吗？
x2y2
梳理 设P(x0，y0)，椭圆2＋2＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：
ab位置关系 满足条件 P在椭圆外 P在椭圆上 P在椭圆内 知识点二 直线与椭圆的位置关系 思考1 直线与椭圆有几种位置关系？
x2y2002＋2>1 abx2y2002＋2＝1 abx2y2002＋2<1 abx2y2
思考2 如何判断y＝kx＋m与椭圆2＋2＝1(a>b>0)的位置关系？
ab梳理 (1)判断直线和椭圆位置关系的方法
将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线和椭圆__________；若Δ＝0，则直线和椭圆________；若Δ<0，则直线和椭圆________． (2)根与系数的关系及弦长公式
x2y2
设直线l：y＝kx＋m(k≠0，m为常数)与椭圆2＋2＝1(a>b>0)相交，两个交点为A(x1，y1)、
abB(x2，y2)，则线段AB叫做直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫做________．下面我们
推导弦长公式：由两点间的距离公式，得|AB|＝
x1－x2kx1－kx2
x1＋x2
2
＋y1－y2
2
，将y1＝kx1＋m，
2
y2＝kx2＋m代入上式，得|AB|＝
＝
2
x1－x2
2
＋
2
＝
2
x1－x2＋k2
x1－x2
2
1＋k|x1－x2|，而|x1－x2|＝
2
－4x1x2，所以|AB|＝
1＋k·x1＋x2
2
－4x1x2，其中x1＋x2与x1x2均可由根与系数的关系得到．
(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用Δ>0.
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例如，直线l：y＝k(x－2)＋1和椭圆＋＝1.无论k取何值，直线l恒过定点(2，1)，
169而定点(2，1)在椭圆内部，所以直线l必与椭圆相交． 类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断 命题角度1 点与椭圆位置关系的判断
例1 已知点P(k，1)，椭圆＋＝1，点在椭圆外，则实数k的取值范围为________________．
94引申探究
若将本例中P点坐标改为“(1，k)”呢？
反思与感悟 处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性．
x2y2
x2y2
x2y2
跟踪训练1 已知点(3，2)在椭圆2＋2＝1(a>b>0)上，则( )
abA．点(－3，－2)不在椭圆上 B．点(3，－2)不在椭圆上 C．点(－3，2)在椭圆上 D．以上都不正确
命题角度2 直线与椭圆位置关系的判断
例2 (1)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是( )
23A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
(2)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆＋y＝1有两个
2不同的交点P和Q.求k的取值范围．
反思与感悟 直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程 (1)Δ>0?直线与椭圆相交?有两个公共点． (2)Δ＝0?直线与椭圆相切?有且只有一个公共点． (3)Δ<0?直线与椭圆相离?无公共点．
跟踪训练2 (1)已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：共点的个数为( ) A．1 B．1或2 C．2 D．0
(2)若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是( )
32
＋＝1，则直线l与椭圆C的公2536
x2y2
x2
2
x2y2
x2y2
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6663 B．－ C．± D．± 3333
A.
类型二 弦长及弦中点问题
例3 已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，求直线AB的方程．
164引申探究
在本例中求弦AB的长．
反思与感悟 直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式Δ.解决弦长问题，一般应用弦长公式．而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程． 跟踪训练3 已知椭圆＋＝1和点P(4，2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点．
3691
(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
2(2)当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程． 类型三 椭圆中的最值(或范围)问题 例4 已知椭圆4x＋y＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程． 反思与感悟 求最值问题的基本策略
(1)求解形如|PA|＋|PB|的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA|＋|PB|取得最值．
(2)求解形如|PA|的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围．
(3)求解形如ax＋by的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决． (4)利用不等式，尤其是均值不等式求最值或取值范围．
→
跟踪训练4 已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若点A的坐标为(3，0)，|AM|＝1，且
2516→→→
PM·AM＝0，求|PM|的最小值．
1．若点A(a，1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是( )
42A．－2 B．a<－2或a>2 D．－1 2 2 x2y2 x2y2 x2y2 x2y2 2．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y＝1，则直线与椭圆的位置关系是( ) 4A．相交 B．相切 3word版本可编辑.欢迎下载支持. x2 2 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. C．相离 D．相切或相交 3．已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋3y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________． 4．若直线y＝kx＋b与椭圆＋＝1恒有两个公共点，则b的取值范围为________． 94422 5．直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y＝1交于M，N两点，且|MN|＝，求直线l的方程． 231．直线与椭圆相交弦长的有关问题 (1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长． (2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有|AB|＝＝1＋k·＝ ＝ 1＋ 1 2 2 x2y2x2 x1－x2 2 2 ＋y1－y2 2 ＝1＋k2 x1－x2 2 x1＋x2k－4x1x2 2 y1－y2y1＋y2 1 1＋2· 2 k－4y1y2(k为直线斜率)． (3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况． 2．解决椭圆中点弦问题的三种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决． (2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系． (3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P(x0，y0)，设其一交点为A(x，y)， 则另一交点为B(2x0－x，2y0－y)， ??则??? x2y2 ＋＝1，a2b2 2x0－x2 a2 ＋ 2y0－y2 b2 ＝1， 两式作差即得所求直线方程． 特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错． 提醒：完成作业 第二章 2.2.2(二) 答案精析 问题导学 4word版本可编辑.欢迎下载支持. 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. 知识点一 32 思考1 当x＝1时，得y＝， 4故y＝±33 ，而2>，故点在椭圆外． 22 x2y200 思考2 当P在椭圆外时，2＋2>1； abx2y200 当P在椭圆上时，2＋2＝1； abx2y200 当P在椭圆内时，2＋2<1. ab知识点二 思考1 有三种位置关系，分别是相交、相切、相离． y＝kx＋m，??22 思考2 联立?xy2＋2＝1，??ab 消去y得关于x的一元二次方程，则 位置关系 相交 相切 相离 梳理 (1)相交 相切 相离 (2)弦长 题型探究 3333 例1 (－∞，－)∪(，＋∞) 22引申探究 解的个数 两解 一解 无解 Δ的取值 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 1k4242232 解 依题意得，＋>1，解得k>，即k<－或k>. 94933跟踪训练1 C 例2 (1)A (2)解 由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋2，代入椭圆方程得＋(kx＋2)＝1.整理 2 2 x2 2 ?12?2?12?2 得?＋k?x＋22kx＋1＝0.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k－4?＋k??2??2? ＝4k－2>0，解得k<－即k的取值范围为 2 22 或k>. 22 5word版本可编辑.欢迎下载支持.
2024版高中数学第二章圆锥曲线与方程2_2_2椭圆的几何性质二学案新人教B版选修2_1
