高中数学 数列求和常见的7种方法

数列求和的基本方法和技巧

一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式

错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和

分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和

二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，

三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22(q?1)?na1?n2、等比数列求和公式：Sn??a1(1?q)a1?anq

?(q?1)?1?q?1?qn1123、 Sn??k?n(n?1) 4、Sn??k?n(n?1)(2n?1)

26k?1k?1n5、 Sn?13k?[n(n?1)]2 ?2k?1?123n，求x?x?x?????x????的前n项和. log23?11?log3x??log32?x?

log232n[例1] 已知log3x?解：由log3x?

23n 由等比数列求和公式得 Sn?x?x?x?????x （利用常用公式）

11(1?)nx(1?xn)22＝1－1 ＝＝

11?x2n1?2 资料来源QQ群697373867 关注微信公众号：高中“数学教研室”回复任意内容获取资料 [例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求f(n)?Sn的最大值.

(n?32)Sn?1 解：由等差数列求和公式得 Sn? ∴ f(n)?11n(n?1)， Sn?(n?1)(n?2) （利用常用公式） 22Snn＝2

(n?32)Sn?1n?34n?64 ＝

1n?34?64n＝

(n?18n?)2?501 50 ∴ 当

n?81，即n＝8时，f(n)max?

508二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

23n?1[例3] 求和：Sn?1?3x?5x?7x?????(2n?1)x………………………①

解：由题可知，{(2n?1)xn?1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{xn?1}的通项之积

234n设xSn?1x?3x?5x?7x?????(2n?1)x………………………. ② （设制错位） 234n?1n①－②得 (1?x)Sn?1?2x?2x?2x?2x?????2x?(2n?1)x （错位相减）

1?xn?1?(2n?1)xn 再利用等比数列的求和公式得：(1?x)Sn?1?2x?1?x(2n?1)xn?1?(2n?1)xn?(1?x) ∴ Sn?

(1?x)2[例4] 求数列

2462n,2,3,???,n,???前n项的和. 22222n1解：由题可知，{n}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n}的通项之积

22

2462n?2?3?????n…………………………………① 222212462nSn?2?3?4?????n?1………………………………② （设制错位） 222221222222n①－②得(1?)Sn??2?3?4?????n?n?1 （错位相减）

222222212n ?2?n?1?n?1

22n?2 ∴ Sn?4?n?1

2设Sn?三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1?an).

012nn[例5] 求证：Cn?3Cn?5Cn?????(2n?1)Cn?(n?1)2

012n证明： 设Sn?Cn?3Cn?5Cn?????(2n?1)Cn………………………….. ①

把①式右边倒转过来得

nn?110Sn?(2n?1)Cn?(2n?1)Cn?????3Cn?Cn （反序）

mn?m 又由Cn?Cn可得

01n?1n Sn?(2n?1)Cn?(2n?1)Cn?????3Cn?Cn…………..…….. ②

01n?1nn ①+②得 2Sn?(2n?2)(Cn?Cn?????Cn?Cn)?2(n?1)?2 （反序相加） n ∴ Sn?(n?1)?2资料来源QQ群697373867 关注微信公众号：高中“数学教研室”

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[例6] 求sin1?sin2?sin3?????sin88?sin89的值

解：设S?sin1?sin2?sin3?????sin88?sin89…………. ①

将①式右边反序得

S?sin89?sin88?????sin3?sin2?sin1…………..② （反序） 又因为 sinx?cos(90?x),sinx?cosx?1

①+②得 （反序相加）

?222?2?2?2?2?2?2?2?2?2?2?2?2?2?2?2S?(sin21??cos21?)?(sin22??cos22?)?????(sin289??cos289?)＝89

∴ S＝44.5

题1 已知函数

（1）证明：；

（2）求的值.

解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边

（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，

两式相加得：