2018届高三模拟考试试卷(十三)
数 学 2018．3
(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：
柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为高． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合U＝{－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，2}，则?UA＝________．
z1
2. 已知复数z1＝a＋i，z2＝3－4i，其中i为虚数单位．若为纯虚数，则实数a的值为________．
z23. 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[40，100]上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为________．
(第3题) (第4题)
4. 如图是一个算法流程图，则输出的S的值为________．
5. 在长为12 cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm的概率为________．
6. 在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，B＝45°，则BC的长为________．
y
7. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C与双曲线x－＝1有公共的渐近线，且经过点
3
2
2
2
P(－2，3)，则双曲线C的焦距为________．
8. 在平面直角坐标系xOy中，已知角α，β的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan(α－β)的值为________．
9. 设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3，S9，S6成等差数列，且a8＝3，则a5的值为________．
10. 已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为________．
?
11. 在平面直角坐标系xOy中，若动圆C上的点都在不等式组?x－?x＋区域内，则面积最大的圆C的标准方程为______________．
x≤3，
3y＋3≥0，表示的平面3y＋3≥0
1??e－x－，x＞0，212. 设函数f(x)＝?(其中e为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数??x3－3mx－2，x≤0m的取值范围是________．
→→
13. 在平面四边形ABCD中，已知AB＝1，BC＝4，CD＝2，DA＝3，则AC·BD的值为________． 14. 已知a为常数，函数f(x)＝
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
1在平面直角坐标系xOy中，设向量a＝(cos α，sin α)，b＝(－sin β，cos β)，c＝(－，
23)． 2
(1) 若|a＋b|＝|c|，求sin(α－β)的值；
5π
(2) 设α＝，0＜β＜π，且a∥(b＋c)，求β的值．
6
16. (本小题满分14分)
如图，在三棱柱ABC -A1B1C1中，AB＝AC，点E，F分别在棱BB1，CC1上(均异于端点)，且∠ABE＝∠ACF，AE⊥BB1，AF⊥CC1.求证：
(1) 平面AEF⊥平面BB1C1C； (2) BC∥平面AEF.
2
的最小值为－，则a的所有值为________． 22
3a－x－1－x
x
17. (本小题满分14分)
xy
如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的短轴端点，P是椭圆上
ab异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为y＝x＋3时，线段PB1的长为42.
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 设点Q满足：QB1⊥PB1，QB2⊥PB2.求证： △PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．
18. (本小题满分16分)
将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm的矩形薄铁皮(如图)，并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形(B，C全等)，用来制成一个柱体．现有两种方案：
方案①： 以l1为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；
方案②： 以l2为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形(各边分别与l1或l2垂直)作为正四棱柱的两个底面．
(1) 设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径； (2) 设l1的长为x dm，则当x为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？
2
2
2
19. (本小题满分16分)
设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且q≠1，d≠0. 记ci＝ai＋bi(i＝1，2，3，4)．
(1) 求证：数列c1，c2，c3不是等差数列；
(2) 设a1＝1，q＝2.若数列c1，c2，c3是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域； (3) 数列c1，c2，c3，c4能否为等比数列？并说明理由．
20. (本小题满分16分)
设函数f(x)＝x－asin x(a＞0)．
(1) 若函数y＝f(x)是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；
1
(2) 设a＝，g(x)＝f(x)＋bln x＋1(b∈R，b≠0)，g′(x)是g(x)的导函数．
2① 若对任意的x＞0，g′(x)＞0，求证： 存在x0，使g(x0)＜0； ② 若g(x1)＝g(x2)(x1≠x2)，求证： x1x2＜4b.
2
2018届高三模拟考试试卷(十三) 数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修41：几何证明选讲)
如图，A，B，C是圆O上的3个不同的点，半径OA交弦BC于点D.求证：DB·DC＋OD＝OA.
B. (选修42：矩阵与变换)
在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)．设变换T1，T2对应的矩阵分别
2
2
?10??20?为M＝??，矩阵N＝??，求对△ABC依次实施变换T1，T2后所得图形的面积．
?02??01?
C. (选修44：坐标系与参数方程)
ππ
在极坐标系中，求以点P(2，)为圆心且与直线l：ρsin(θ－)＝2相切的圆的极坐标方
33程．
D. (选修45：不等式选讲)
11－a＋c
已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝，求证：≥2.
2c（a＋2b）
【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3×3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖总金额为X元．
(1) 求概率P(X＝600)；
(2) 求X的概率分布及数学期望E(X)．
23. 已知(1＋x)
2n＋1
＝a0＋a1x＋a2x＋?＋a2n＋1x
22n＋1
，n∈N.记Tn＝
*
(2k＋1)an－k.
(1) 求T2的值；
(2) 化简Tn的表达式，并证明：对任意的n∈N，Tn都能被4n＋2整除．
*
江苏省南通、徐州、扬州、泰州、淮安、宿迁六市2018届高三第二次调研数学试题
