逆用导数运算法则构造函数型
知识点：题目已知中出现含f(x)、f′(x)的不等式，一般应考虑逆用导数的运算法则构造新，
然后再逆用单调性等解决问题，构造新函数的方法有： 1.对于f?(x)?a，构造h(x)?f(x)?ax?b. 2.对于xf?(x)?f(x)?0(?0)，构造h(x)?xf?(x)；
xf?(x)?nf(x)?0(?0)，构造h(x)?xnf(x)．
3.对于xf?(x)?f(x)?0(?0)，构造h?x??f?x?； xxf?(x)?nf(x)?0(?0)，构造h(x)?f(x)． xn4.对于f?(x)?f(x)?0(?0)，构造h?x??f?x?； exf(x)． enxx对于f?(x)?nf(x)?0(?0)，构造h(x)?5.对于f?(x)?f(x)?0(?0)，构造h?x??ef?x?；
nx一般的，对于f?(x)?nf(x)?0(?0)，构造h(x)?ef(x)．
6.对于f?(x)?f(x)tanx(或f?(x)?f(x)tanx)，即f?(x)cosx?f(x)sinx?0(?0)，构造h(x)?f(x)cosx．
7.对于f?(x)cosx?f(x)sinx?0(?0)，构造h(x)?8.对于
f(x)． cosxf?(x)?0，构造h(x)?lnf(x). f(x)x9.对于f?(x)?lnaf(x)?0(?0)，构造h(x)?af(x). 10.对于f?(x)lnx?f(x)?0(?0)，构造h(x)?f(x)lnx. x?
例1设奇函数f(x)定义在(－?，0)∪(0，?)上其导函数为f?(x)，且f()＝0，当0＜x＜?时，f?(x)sinx
2?
－f(x)cosx＜0，则关于x的不等式f(x)＜2f()sinx的解集为 ．
6
【分析】这是一道难度较大的填空题，它主要考查奇函数的单调性在解不等式中的应用，奇
函数的图象关于坐标原点中心对称，关于原点对称的区间上具有相同的单调性；在公共定义域上两个奇函数的积与商是偶函数，偶函数的图象关于y轴轴对称，关于原点对称
f?g－fg?f
的区间上具有相反的单调性，导数是研究函数单调性的重要工具，大家知道()?＝，
gg2f(x)
(sinx)?＝cosx，于是本题的本质是构造来解不等式
sinx【解析】设g(x)=
f?(x)sinx－f(x)cosxf(x)f(x)
，则g? (x)= ()?＝， sinxsinxsin2x
所以当0＜x＜?时，g? (x)<0，g(x) 在(0，?)上单调递减
?
f()6f(x)?1?
又由于在(0，?)上sinx＞0，考虑到sin＝，所以不等式f(x)＜2f()sinx等价于＜，
626sinx?
sin6??
即g(x)< g(),所以此时不等式等价于＜x＜?.
66
又因为f(x) 、sinx为奇函数，所以g(x)是偶函数，且在(－?，0)上sinx＜0，所以函数g(x)?
f(－)6?
在(－?，0)是单调递增函数，原不等式等价于g(x)＞g(－)=，所以此时不等式等
6?sin(－)6???
价于－＜x＜0，综上，原不等式的解集是(－，0)∪(，?)．
666
例2函数f(x)的定义域为R，f(?1)?2，对任意x?R，f?(x)?2，则f(x)?2x?4的解
集为 .
【分析】题目应归结为“解抽象函数型不等式”问题，解决方法是“逆用函数的单调性”.题目中哪个条件能让你联想到“函数的单调性”呢？注意到已知中f?(x)?2，只需构造函数g(x)，使得g?(x)?f?(x)?2，不难得到g(x)?f(x)?2x?c（这里c为常数，本题中取c?0），进而利用g(x)的单调性，即可找到解题的突破口.
【解析】构造函数g(x)?f(x)?2x，则g?(x)?f?(x)?2?0，故g(x)单调递增，且
g(?1)?f(?1)?2?（?1）?4.另一方面所求不等式f(x)?2x?4， 就转化为g(x)?f(x)?x?g(?1)，逆用单调性定义易知x?1，则不等式的解集为(?1,??).
例3 设f(x)是定义在R上的可导函数，且满足f(x)＋xf′(x)>0，则不等式f(x＋1)>x－1·f(x2－1)的解集为________．
【解析】设F(x)＝xf(x)，则由F′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，可得函数F(x)是R上的增函数． 又x＋1>0，∴由f(x＋1)>x－1f(x2－1)可变形得x＋1f(x＋1)>x2－1f(x2－1)，
即F(x＋1)>F(x2－1)，
?x＋1>x2－1，∴?解得1≤x<2. ?x≥1，
[强化训练]
1.函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∴R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为______．
【解析】构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex，
因为g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex>ex－ex＝0，
所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数．又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.
'2.已知定义在R上的奇函数f?x?，设其导函数为f?x?，当x????,0?时，恒有
xf'?x??f??x?，则满足
1?2x?1?f?2x?1??f?3?的实数x的取值范围是 ??1,2? 33.已知y?f?x??x?R?的导函数为f??x?.若f?x??f??x??2x3，且当x?0时，
f??x??3x2，则不等式f?x??f?x?1??3x2?3x?1的解集是(,??)
4．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)?1，且f(x)的导函数f?(x)?x?1，则不等式
12f(x)?12x?x?1的解集为（ ） 2A．x?2?x?2 B．xx?2 C．xx?2 D．{x|x??2或x?2} 【答案】C．
5．设f(x),g(x)在[a,b]上可导，且f'(x)?g'(x)，则当a?x?b时，有（ ）
??????A.f(x)?g(x) B.f(x)?g(x)
C.f(x)?g(a)?g(x)?f(a) D.f(x)?g(b)?g(x)?f(b)【答案】C
【解析】构造函数F(x)?f(x)?g(x)，则易知F(x)单调递增，于是F(a)?F(x)?F(b)，
f(x)?g(x)?f(a)?g(a)，选C.
6.设f(x)是定义在(0,??)上的可导函数，且f(x)??xf'(x)，则不等式
f(x?1)?(x?1)f(x2?1)的解集是（ ）
A. (0,1) B. (1,??) C. (1,2) D. (2,??) 【解析】构造函数[xf(x)]'?f(x)?xf'(x)?0，于是该函数递减，
f(x?1)?(x?1)f(x2?1)变形为(x?1)f(x?1)?(x2?1)f(x2?1)，于是?x?1?0?2?x?1?0，得x?2，选D. ?x?1?x2?1?7．定义在R上的可导函数f?x?，当x??1,???时，?x?1?f??x??f?x??0恒成立，
a?f?2?,b?1f?3?,c?2?2?1f??2?，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．c?a?b B．b?c?a C．a?c?b D．c?b?a 【解析】构造函数g?x??f?x?， x?1当x??1,???时，g??x??f??x??x?1??f?x??x?1?2?0，即函数g?x?单调递增，
f?2?f?3?1则a?f?2???g?2?，b?f?3???g?3?，
2?123?1c??2?1f??2???2f?2??g2?1?2?
则g?2??g?2??g?3?，即c?a?b，选A．
)上的函数f?x?，f'?x?是它的导函数，且恒有f'?x??f?x??tanx成
8．定义在(0,立．则（ ）
A．3f()?f() B．3?f()?2cos1?f(1)
???636C．6f()?2f() D．2f()?f() ????6443【答案】A
【解析】由f'?x??f?x?tanx得f'?x?cosx?f?x?sinx?0， 构造函数F?x??f?x?cosx，则F'?x??0，故F?x?单调递增，
有F????????????????fcos?fcos?F???????．故选A．
63?6??6??3??3?9．函数f(x)的导函数为f?(x)，对任意的x?R，都有f?(x)?f(x)成立，则（ ） A.3f(ln2)?2f(ln3) B.3f(ln2)?2f(ln3)
C.3f(ln2)?2f(ln3) D.3f(ln2)与2f(ln3)的大小不确定 【答案】B 【解析】令h?x??f?x?ex,则h'?x??f'?x?ex?f?x?(ex)'e2x?f'?x?ex?f?x?exe2x?f'?x??f?x?ex,
因为f'?x??f?x??f'?x??f?x??0,所以在R上h'?x??0恒成立.即函数h?x?在R单调递增.因为ln3?ln2,所以h?ln3??h?ln2? 即f?ln3?eln3?f?ln2?eln2?f?ln3?3?f?ln2?2?2f?ln3??3f?ln2?.答案选B．
逆用导数运算法则构造函数型
