一元二次方程(篇)(Word版 含解析)

一元二次方程（篇）（Word版 含解析）

一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）

1．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．

（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）

（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨上的购买价格比原有价格下降了

5m%，购买数量和原计划一样：“美团”网29m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在2015m%，求出m的值． 2两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了【答案】（1）120；（2）20． 【解析】

试题分析：（1）本题介绍两种解法：

解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x?80≤7680，解出即可；

解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；

（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+总额：a[120（1﹣25%）﹣的预算总额增加了

5m%），在“美团”网上的购买实际消费29m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划2015m%”列方程解出即可． 2试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x?80≤7680，x≤120； 解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）． 答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；

（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得：

59m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣m]（1+15m%）=120×0.8a（

20251591﹣25%）×2（1+ m%），即72a（1+ m%）+a（72﹣ m）（1+15m%）=144a（1+

220215m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍），m2=20． 2答：m的值是20．

120×0.8a（1﹣25%）（1+

点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际

消费总额是解题关键．

2．随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．

（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；

（2）为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012

年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的

汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2011 年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．

【答案】解：（1）2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20% （2）从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆 【解析】 【分析】

（1）设年平均增长率x，根据等量关系“2008年底汽车拥有量×（1+年平均增长率）×（1+年平均增长率）”列出一元二次方程求得．

（2）设从2011年初起每年新增汽车的数量y，根据已知得出2011年报废的车辆是2010年底拥有量×10%，推出2011年底汽车拥有量是2010年底拥有量-2011年报废的车辆=2010年拥有量×（1-10%），得出等量关系是： 2010年拥有量×（1-10%）+新增汽车数量]×（1-10%）+新增汽车数量”，列出一元一次不等式求得． 【详解】

解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x． 根据题意，得75（1+x）2=108，则1+x=±1.2 解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%．

（2）设全市每年新增汽车数量为y万辆，则2010年底全市的汽车拥有量为

（108×90%+y）万辆，2011年底全市的汽车拥有量为[（108×90%+y）×90%+y]万辆． 根据题意得（108×90%+y）×90%+y≤125.48， 解得y≤20．

答：该市每年新增汽车数量最多不能超过20万辆．

3．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关． （1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？ （2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用

率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%． ①润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？

②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？ 【答案】（1）28（2）①76%②75，84% 【解析】

试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；

（2）①利用润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案； ②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案．

试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）； （2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%； ②设润滑用油量是x千克，则 x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x）]}=12， 整理得：x2﹣65x﹣750=0， （x﹣75）（x+10）=0， 解得：x1=75，x2=﹣10（舍去）， 60%+1.6%（90﹣x）=84%，

答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%． 考点：一元二次方程的应用

4．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0． （1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．

【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为±2，方程的另一个根是5． 【解析】 【分析】

（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可；

（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可. 【详解】 （1）证明：

∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0， ∴x2﹣7x+12﹣m2=0，

∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2， ∵m2≥0， ∴△＞0，

∴对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；

（2）解：∵方程的一个根是2， ∴4﹣14+12﹣m2=0，解得m=±即m的值为±【点睛】

此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.

当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.

，

∴原方程为x2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，

，方程的另一个根是5．

5．近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表： A型销售数量（台） 5 10 B型销售数量（台） 10 5 总利润（元） 2 000 2 500 （1）每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是多少？

（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案；

（3）已知A型空气净化器的净化能力为300 m3/小时，B型空气净化器的净化能力为200 m3/小时．某长方体室内活动场地的总面积为200 m２，室内墙高3 m．该场地负责人计划购买5台空气净化器每天花费30分钟将室内空气净化一新，如不考虑空气对流等因素，至少要购买A型空气净化器多少台？

【答案】（1）每台A型空气净化器的利润为200元，每台B型空气净化器的利润为100元；（2）为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台；（3）至少要购买A型空气净化器2台. 【解析】

解：（1）设每台A型空气净化器的利润为x元，每台B型空气净化器的利润为y元，根据

5x?10y?2000,x?200,{解得{题意得： 10x?5y?2500.y?100.答：每台A型空气净化器的利润为200元，每台B型空气净化器的利润为100元. （2）设购买A型空气净化器m台，则购买B型空气净化器（100﹣m）台， ∵B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍， ∴100-m≥2m， 解得：m≤

100. 3

设销售完这100台空气净化器后的总利润为W元. 根据题意，得W=200m+100（100﹣m）=100m+10000. ∵要使W最大，m需最大，

∴当m=33时，总利润最大，最大利润为W：100×33+10000=13300（元）. 此时100﹣m=67.

答：为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台.

（3）设应购买A型空气净化器a台，则购买B型空气净化器（5﹣a）台，根据题意得：

1 [300a+200(5-a)]≥200×3. 2解得：a≥2.

∴至少要购买A型空气净化器2台.

6．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C、D，AB与CD相交于点E，线段OA、OC的长是一元二次方程－18x+72=0的两根（OA＞OC），BE=5，tan∠ABO=．

（1）求点A，C的坐标；

（2）若反比例函数y=的图象经过点E，求k的值；

（3）若点P在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q，使以点C，E，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出位于x轴下方的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)、A（12，0），C（﹣6，0）；(2)、k=36；(3)、6个；Q1（10，﹣12），Q2（﹣3，6﹣3【解析】

试题分析：(1)、首先求出方程的解，根据OA＞OC求出两点的坐标；(2)、根据∠ABO的正切值求出OB的长度，根据Rt△AOB得出AB的长度，作EM⊥x轴，根据三角形相似得出点E的坐标，然后求出k的值；(3)、分别以CE为矩形的边，在点C、E处设计直角，垂线与两坐标轴相交，得到点P，进而得到点Q；以CE为矩形对角线，则以CE的中点为圆心做圆，与两坐标轴相交，得到点P，再得点Q.

）.