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2020高二数学上册期末考试试卷及答案
试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1．已知命题p：?x∈R，sinx≤1，则( C )
A．?p：?x∈R，sinx≥1 B．?p：?x∈R，sinx≥1 C．?p：?x∈R，sinx>1 D．?p：?x∈R，sinx>1 2．等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于( B )．
A．160 B．180 C．200 D．220
3．△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝60°，则c的值
等于( C )．
A．5
B．13
C．13
D．37
4．若双曲线x22－
y2
ab2
＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( D )
A.
7 B. 5
4 C. 4
3 D. 5
3
3
5．在△ABC中，能使sinA＞
32
成立的充分不必要条件是( C )
A．A∈??π??0，?
? B．A∈??π2π???3，3???? C．A∈?ππ???3，2??π5π?
?3?
?? D．A∈???
?2，6??
6．△ABC中，如果
abc
tanA＝tanB＝tanC
，那么△ABC是( B )． A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
7. 如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点， F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为( B )
A．1∶2 B．1∶1 C．3∶1 D．2∶1
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8．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线
BC1与直线A B1夹角的余弦值为( A )
A.
55 B.
53
C.
2
55 D. 3
5
9．当x＞1时，不等式x＋
1x?1≥a恒成立，则实数a的取值范围是( D )． A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
? 10．若不等式组?x≥0?x＋3y≥ 4，所表示的平面区域被直线y＝kx＋4分为面积相等的两部分，??3x＋y≤ 43则k的值是( A )．
A．
73 B．37 C．433 D．4 11．若关于x的不等式2x2－8x－4－a≥0在1≤x≤4内有解，则实数a的取值范围是
( A )
A．a≤－4 B．a≥－4 C．a≥－12
D．a≤－12
12．定义域为R的偶函数f(x)满足：对?x∈R，有f(x＋2)＝f(x)－f(1)，且当x∈[2,3]时，
f(x)＝－2(x－3)2，若函数y＝f(x)－loga(x＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则a的取值范围为 ( B )
?A. ?2?? B. 3????0，??? C. ?5?? ?6???2????0，3????0，5?D.???0，6? ?
解析 由于定义为R的偶函数f(x)满足：对?x∈R，有f(x＋2)＝f(x)－f(1)，得f(－1＋2)＝f(－1)－f(1)＝0，即f(1)＝0，故f(x＋2)＝f(x)，可知f(x)的周期T＝2，图象以x＝2为对称轴，作出f(x)的部分图象，如图，
∵y＝loga(x＋1)的图象与f(x)的图象至少有三个交点，即有loga(2＋1)>f(2)＝－2且0 ?1，解得a∈?3???0，?3?。 ? ------《吾爱网络项目》精选教育应用文档，如需本文，请下载 ----- 第Ⅱ卷（选择题 共90分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置 13．已知某抛物线的准线方程为y＝1，则该抛物线的标准方程为________。x2＝－4y 14.若a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是______75__。 15．过椭圆 x2y216?4?1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被点M平分，则这条弦所在直线 的斜率等于________ －1 2 16．已知函数 f(x)＝xα的图象过点(4,2)，令 an＝ 1 fn＋1＋fn，n∈N*。记数列{an} 的前n项和为Sn，则S2 016＝________。2 017－1 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内. 17．(12分)已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC。 (1)若a＝b，求cosB； (2)设B＝90°，且a＝ 2，求△ABC的面积。 解 (1)由sin2B＝2sinAsinC及正弦定理，得b2＝2ac， 2∵a＝b，∴a＝2c。由余弦定理，得cosB＝ a＋c2－b2 a2＋14 a2－a2 2ac＝＝1 2a×14 。 2 a(2)由(1)得b2＝2ac。∵B＝90°，a＝2，∴a2＋c2＝2ac，∴a＝c＝2，∴S1 △ABC＝2 ac1。 x?．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a≠0，q：实数满足?? x2－x－6≤0， ??x2＋2x－8＞0。 (1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围。 解 (1)由x2－4ax＋3a2＜0，得：(x－3a)(x－a)＜0， 当a＝1时，解得1＜x＜3， 即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3。 ?由?? x2－x－6≤0，??x2＋2x－8＞0。 解得：2＜x≤3， 即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3。 若p且q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3。 (2)p是q的必要不充分条件，即q推出p，且p推不出q， 设集合A＝{x|p(x)}；集合B＝{x|q(x)}，则集合B是集合A的真子集， ＝18------《吾爱网络项目》精选教育应用文档，如需本文，请下载 ----- 又B＝(2,3]， 当a＞0时，A＝(a,3a)；a＜0时，A＝(3a，a)。 a?所以当＞0时，有?? a≤2， ?解得1＜a≤2， ?3＜3a， 当a＜0时，显然A∩B＝?，不合题意， 19．(本小题满分12分)已知动圆经过点F(2,0)，并且与直线x＝－2相切。 (1)求动圆圆心P的轨迹M的方程； (2)经过点(2,0)且倾斜角等于135°的直线l与轨迹M相交于A，B两点，求|AB|。 解 (1)设动圆圆心P(x，y)。 因为动圆经过点F(2,0)，并且与直线x＝－2相切， 所以点P到定点F(2,0)的距离与到定直线x＝－2的距离相等， 故点P的轨迹是一条抛物线，其焦点为F，准线为x＝－2，设轨迹方程为y2＝2px(p＞0)，则p2 ＝2， 所以轨迹M的方程为y2＝8x。 (2)轨迹M的焦点(2,0)，直线l的斜率k＝tan 135°＝－1，于是其方程为y＝－(x－2)。 ?由?? y＝－x－2 ， ?－12x＋4＝0。 ?y2＝8x， 消去y得x2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝12， 于是|AB|＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16。 20．(12分)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC是直角三角形，且PA＝ AB＝AC。又平面QBC垂直于底面ABC。 (1)求证：PA∥平面QBC； (2)若PQ⊥平面QBC，求锐二面角Q－PB－A的余弦值。 解 (1)证明：过点Q作QD⊥BC交BC于点D， 因为平面QBC⊥平面ABC。 所以QD⊥平面ABC。 又PA⊥平面ABC， 所以QD∥PA。 而QD?平面QBC，PA?平面QBC， 所以PA∥平面QBC。 (2)因为PQ⊥平面QBC， 所以∠PQB＝∠PQC＝90°。 ------《吾爱网络项目》精选教育应用文档，如需本文，请下载 ----- 又PB＝PC，PQ＝PQ， 所以△PQB≌△PQC， 所以BQ＝CQ。 所以点D是BC的中点，连接AD，则AD⊥BC，因此AD⊥平面QBC，故四边形PADQ是矩形。 分别以AC，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。 设PA＝2a，则Q(a，a,2a)，B(0,2a,0)，P(0,0,2a)。 设平面QPB的法向量为n＝(x，y，z)， 因为PQ→＝(a，a,0)，PB→＝(0,2a，－2a)， ?所以?? ax＋ay＝0，??2ay－2az＝0， 取n＝(1，－1，－1)。 又平面PAB的一个法向量为m＝(1,0,0)， 设锐二面角Q－PB－A的大小为θ， 则cosθ＝|cos〈m，n〉|＝m·n3 |m||n|＝3， 即锐二面角Q－PB－A的余弦值等于 33。 21．(本小题满分12分)若{a的前n项和为S31n}n，点(n,Sn)均在函数y＝2x2?2x的图像上。（Ⅰ）求数列{an}的通项公式;an=3n-2 （Ⅱ）b3n?a，Tn是数列{bn}的前n项和， nan?1(1) ?点(n,S31n)均在函数y＝2x2?2x的图像上, ?S32n2?1n=2n, 故S31n?1?2(n?1)2?2(n?1) (n?2),… 从而当n?2 Sn-Sn?1=3n-2,即an=3n-2, 又当n=1时,a1?S1?1,满足上式 ?an=3n-2 (2) ?b3n?a,an=3n-2, nan?1?b3n?(3n?2)(3n?1)=13n?2?13n?1 ?Tn?1?11114?4?7?7?110?...?13n?2?13n?1=1?13n?1?3n3n?1.
2020高二数学上册期末考试试卷及答案
