2014-2014学年甘肃省会宁二中高二数学课时练习：1.3.1《函数的单调性与导数》(新人教A版选修2-2)

10/21/2014

b[解析]　∵函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，∴a＜0，b＜0.

x由y＝ax3＋bx2＋5得y′＝3ax2＋2bx.令y′＞0，得∴当x∈－

3ax2＋2bx＞0，∴－

2b3a＜x＜0.

(2b3a，0时，函数为增函数．

)令y′＜0，即3ax2＋2bx＜0，∴x＜－

2b3a，或x＞0.

2b3a∴在－∞，－

()，(0，＋∞)上时，函数为减函数．

18．(2010·新课标全国文，21)设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.1

(1)若a＝，求f(x)的单调区间；

2

(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．11

[解析]　(1)a＝时，f(x)＝x(ex－1)－x2，

22

f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．

当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，

f′(x)>0.

故f(x)在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减．(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．

令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.

若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.

当a>1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，lna)时g(x)<0，即f(x)<0.

综合得a的取值范围为(－∞，1]．