10/21/2014
选修2-2 1.3.1 函数的单调性与导数
一、选择题
1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是( )A．b2－4ac>0 B．b>0，c>0C．b＝0，c>0 [答案] D
[解析] ∵a>0，f(x)为增函数，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c>0恒成立，
∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac<0，∴b2－3ac<0.
2．(2009·广东文，8)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )A．(－∞，2) C．(1,4) [答案] D
[解析] 考查导数的简单应用．
B．(0,3)D．(2，＋∞)D．b2－3ac<0
f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，
令f′(x)>0，解得x>2，故选D.
3．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为( )
A．[－1，＋∞) C．(－∞，－1)和(1,2) [答案] B
[解析] 令k≤0得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]．
4．已知函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )
B．(－∞，2]D．[2，＋∞)
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[答案] C
[解析] 当0 ∴f′(x)<0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数 当x>1时xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，因此否定A、B、D故选C. 5．函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是( )A.－π，－B.－ π2 C.－π，－D.－ π2 ((((，0和0， π2和π2 ，0和 )())())())()2和0，π22π 2，π，ππ2时， ππ [答案] A [解析] y′＝xcosx，当－π π2 时，cosx>0，∴y′＝xcosx>0. 6．下列命题成立的是( ) A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x∈(a，b)，都有f′(x)>0B．若在(a，b)内对任何x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上是增函数C．若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f′(x)必存在D．若f′(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数 10/21/2014 [答案] B [解析] 若f(x)在(a，b)内是增函数，则f′(x)≥0，故A错；f(x)在(a，b)内是单调函数与f′(x)是否存在无必然联系，故C错；f(x)＝2在(a，b)上的导数为f′(x)＝0存在，但f(x)无单调性，故D错． 7．(2007·福建理，11)已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时( ) A．f′(x)>0，g′(x)>0 C．f′(x)<0，g′(x)>0 [答案] B [解析] f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0. 8．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a、b，若a A．af(a)≤f(b) C．af(b)≤bf(a) [答案] C [解析] ∵xf′(x)＋f(x)≤0，且x>0，f(x)≥0，∴f′(x)≤－ B．bf(b)≤f(a)D．bf(a)≤af(b)B．f′(x)>0，g′(x)<0D．f′(x)<0，g′(x)<0 f(x) ，即f(x)在(0，＋∞)上是减函数，x又0＜a＜b，∴af(b)≤bf(a)． 9．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有( )A．f(0)＋f(2)<2f(1) C．f(0)＋f(2)≥2f(1) [答案] C [解析] 由(x－1)f′(x)≥0得f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减或f(x)恒为常数， 故f(0)＋f(2)≥2f(1)．故应选C. 10．(2010·江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S′(t)的图像大致为 ( ) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)D．f(0)＋f(2)>2f(1) 10/21/2014 [答案] A [解析] 由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A. 二、填空题 1 11．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为 3________． [答案] b<－1或b>2 [解析] 若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，则Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b≤2，由题意b＜－1或b＞2. 12．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a的取值范围为________． [答案] a≥1[解析] 由已知a＞设g(x)＝∴g(x)＝ 1＋lnx1＋lnxx在区间(1，＋∞)内恒成立． lnx＜0 (x＞1)， xx，则g′(x)＝－ x2 1＋lnx在区间(1，＋∞)内单调递减， ∴g(x)＜g(1)，∵g(1)＝1，∴1＋lnxx＜1在区间(1，＋∞)内恒成立， ∴a≥1. 13．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__________．[答案] (－∞，－1) [解析] 函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，令 f(x)＝x2－x－2，f′(x)＝2x－1<0，得x<，2 1 ∴函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－∞，－1)． 14．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________． [答案] [3，＋∞) 10/21/2014 [解析] y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax<0在区间(0,2)内恒成立，即a>x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3. 2三、解答题 15．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．(1)求a、b的值； (2)讨论函数f(x)的单调性． [解析] (1)求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b. 由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12， 即Error!，解得a＝1，b＝－3.(2)由a＝1，b＝－3得 3 f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3) ＝3(x＋1)(x－3)． 令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f′(x)<0，解得－1 1 16．求证：方程x－sinx＝0只有一个根x＝0. 21 [证明] 设f(x)＝x－sinx，x∈(－∞，＋∞)， 2则f′(x)＝1－cosx＞0， 2 ∴f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．而当x＝0时，f(x)＝0， 1 ∴方程x－sinx＝0有唯一的根x＝0. 2 17．已知函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y＝ax3＋bx2＋5的单调区间． [分析] 可先由函数y＝ax与y＝－的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定y＝ax3＋bx2＋5的单调区间． 1 bxbx
2014-2014学年甘肃省会宁二中高二数学课时练习：1.3.1《函数的单调性与导数》(新人教A版选修2-2)
