∴BF∥DE， ∴OC⊥BF， ∴
=
，
∴∠COE=∠FAB， 而∠FAB=∠M， ∴∠COE=∠M， 设⊙O的半径为r， 在Rt△OCE中，cos∠COE==，即
=，解得r=4，即⊙O的半径为4； ②连接BF，如图， 在Rt△AFB中，cos∠FAB=， ∴AF=8×=
在Rt△OCE中，OE=5，OC=4， ∴CE=3， ∵AB⊥FM， ∴
，
∴∠5=∠4， ∵FB∥DE， ∴∠5=∠E=∠4， ∵
=
，
∴∠1=∠2， ∴△AFN∽△AEC， ∴
=
，即
=
，
∴FN=．
26
29．（2019?随州）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点． （1）求证：MD=MC； （2）若⊙O的半径为5，AC=4
，求MC的长．
【分析】（1）连接OC，利用切线的性质证明即可； （2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）连接OC，
∵CN为⊙O的切线，
∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°， ∵OM⊥AB，
∴∠OAC+∠ODA=90°， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠ACM=∠ODA=∠CDM， ∴MD=MC；
（2）由题意可知AB=5×2=10，AC=4
，
27
∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴BC=
∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A， ∴△AOD∽△ACB， ∴
，即
， ，
可得：OD=2.5，
设MC=MD=x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x+2.5）=x+5， 解得：x=即MC=
30．（2019?黄冈）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C． （1）求证：∠CBP=∠ADB．
（2）若OA=2，AB=1，求线段BP的长．
， ．
2
2
2
【分析】（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，再根据切线的性质得到∠OBC=90°，然后利用等量代换进行证明；
（2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的长． 【解答】（1）证明：连接OB，如图， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD=90°， ∴∠A+∠ADB=90°， ∵BC为切线，
28
∴OB⊥BC， ∴∠OBC=90°， ∴∠OBA+∠CBP=90°， 而OA=OB， ∴∠A=∠OBA， ∴∠CBP=∠ADB； （2）解：∵OP⊥AD， ∴∠POA=90°， ∴∠P+∠A=90°， ∴∠P=∠D， ∴△AOP∽△ABD， ∴
=
，即
=，
∴BP=7．
31．（2019?襄阳）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE． （1）求证：DA=DE； （2）若AB=6，CD=4
，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OE．推知CD为⊙O的切线，即可证明DA=DE；
29
（2）利用分割法求得阴影部分的面积． 【解答】解：（1）证明：连接OE、OC． ∵OB=OE， ∴∠OBE=∠OEB． ∵BC=EC， ∴∠CBE=∠CEB， ∴∠OBC=∠OEC． ∵BC为⊙O的切线， ∴∠OEC=∠OBC=90°； ∵OE为半径， ∴CD为⊙O的切线， ∵AD切⊙O于点A， ∴DA=DE；
（2）如图，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形， ∴AD=BF，DF=AB=6， ∴DC=BC+AD=4． ∵FC==2，
∴BC﹣AD=2，
∴BC=3
．
在直角△OBC中，tan∠BOE==
，
∴∠BOC=60°． 在△OEC与△OBC中，
，
∴△OEC≌△OBC（SSS）， ∴∠BOE=2∠BOC=120°．
∴S阴影部分=S四边形BCEO﹣S扇形OBE=2×BC?OB﹣=9﹣3π． 30
人教版2020中考数学试题分类汇编 考点30 切线的性质和判定（含解析）
