∴AD∥OC， ∵CD⊥AF， ∴CD⊥OC ∵C在圆上， ∴CD是⊙O的切线
44．（2019?新疆）如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）若OC=3，AC=4，求sinE的值．
【分析】（1）要证明是圆的切线，须证明过切点的半径垂直，所以连接OBB，证明OB⊥PE即可．
（2）要求sinE，首先应找出直角三角形，然后利用直角三角函数求解即可．而sinE既可放在直角三角形EAP中，也可放在直角三角形EBO中，所以利用相似三角形的性质求出EP或EO的长即可解决问题
【解答】（1）证明：连接OB∵PO⊥AB， ∴AC=BC， ∴PA=PB
在△PAO和△PBO中
∴△PAO和≌△PBO ∴∠OBP=∠OAP=90° ∴PB是⊙O的切线．
（2）连接BD，则BD∥PO，且BD=2OC=6
46
在Rt△ACO中，OC=3，AC=4 ∴AO=5
在Rt△ACO与Rt△PAO中， ∠APO=∠APO， ∠PAO=∠ACO=90° ∴△ACO～△PAO =∴PO=
，PA=
∴PB=PA=
在△EPO与△EBD中， BD∥PO ∴△EPO∽△EBD ∴
=
， ，
解得EB=PE=∴sinE=
， =
45．（2019?安顺）如图，在△ABC中，AB=AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D．
47
（1）求证：AB是半圆O所在圆的切线；
（2）若cos∠ABC=，AB=12，求半圆O所在圆的半径．
【分析】（1）先判断出∠CAO=∠BAO，进而判断出OD=OE，即可得出结论； （2）先求出OB，再用勾股定理求出OA，最后用三角形的面积即可得出结论．【解答】解：（1）如图，作OE⊥AB于E，连接OD，OA， ∵AB=AC，点O是BC的中点， ∴∠CAO=∠BAO， ∵AC与半圆O相切于D， ∴OD⊥AC， ∵OE⊥AB， ∴OD=OE，
∵AB径半圆O的半径的外端点， ∴AB是半圆O所在圆的切线；
（2）∵AB=AC，O是BC的中点， ∴AO⊥BC，
在Rt△AOB中，OB=AB?cos∠ABC=12×=8， 根据勾股定理得，OA=
=4
，
由三角形的面积得，S△AOB=AB?OE=OB?OA， ∴OE=
=
，
即：半圆O所在圆的半径为
．
48
46．（2019?衡阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC、AB的延长线于点E、F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若AC=4，CE=2，求
的长度．（结果保留π）
【分析】（1）连接OD，由OA=OD知∠OAD=∠ODA，由AD平分∠EAF知∠DAE=∠DAO，据此可得∠DAE=∠ADO，继而知OD∥AE，根据AE⊥EF即可得证；
（2）作OG⊥AE，知AG=CG=AC=2，证四边形ODEG是矩形得OA=OB=OD=CG+CE=4，再证△ADE∽△ABD得AD2=48，据此得出BD的长及∠BAD的度数，利用弧长公式可得答案． 【解答】解：（1）如图，连接OD，
∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∵AD平分∠EAF， ∴∠DAE=∠DAO， ∴∠DAE=∠ADO， ∴OD∥AE， ∵AE⊥EF，
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∴OD⊥EF， ∴EF是⊙O的切线；
（2）如图，作OG⊥AE于点G，连接BD， 则AG=CG=AC=2，∠OGE=∠E=∠ODE=90°， ∴四边形ODEG是矩形，
∴OA=OB=OD=CG+CE=2+2=4，∠DOG=90°， ∵∠DAE=∠BAD，∠AED=∠ADB=90°， ∴△ADE∽△ABD， ∴
=
，即
=
，
∴AD2=48， 在Rt△ABD中，BD=在Rt△ABD中，∵AB=2BD， ∴∠BAD=30°， ∴∠BOD=60°， 则
47．（2019?孝感）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）已知BD=2
，CF=2，求AE和BG的长．
的长度为
=
． =4，
【分析】（1）连接OD，AD，由圆周角定理可得AD⊥BC，结合等腰三角形的性质知BD=CD，再根据OA=OB知OD∥AC，从而由DG⊥AC可得OD⊥FG，即可得证；
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人教版2020中考数学试题分类汇编 考点30 切线的性质和判定（含解析）
