交通大学2018-2019学年自主招生考试
数学试题
一、选择题（本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，温馨提示：金榜题名，高考必胜!蝉鸣声里勾起高考记忆三年的生活，每天睡眠不足六个小时，十二节四十五分钟的课加上早晚自习，每天可以用完一支中性笔，在无数杯速溶咖啡的刺激下，依然活蹦乱跳，当我穿过昏暗的清晨走向教学楼时，我看到了远方地平线上渐渐升起的黎明充满自信，相信自己很多考生失利不是输在知识技能上而是败在信心上，觉得自己不行。临近考试前可以设置完成一些小目标，比如说今天走1万步等，考试之前给自己打气，告诉自己“我一定行”! 多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。高考保持心平气和，不要紧张，像对待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。 把所选项的字母填在括号内） 1．若今天是星期二，则3
A．星期四
1998
天之后是
（ ） B．星期三
C．星期二
D．星期一
2．用13个字母A，A，A，C，E，H，I，I，M，M，N，T，T作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率是 A．
（ ）
48 13!2
2
B．
216 13!C．
1728 13!D．
8 13!3．方程cosx A．m?
x+sinx＝m+1有实数解，则实数m的取值范围是
（ ）
1 8
B．m C．m
2
D．?3?m?1 84．若一项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程x+px+q＝0的两个根，则此数列各项的积是（ ）
A．p
mB．p
h?02mC．q
mD．q
2m5．设f ’（x0）＝2，则lim
A．
f(x0?h)?f(x0?h)
h（ ） B．2
C．
D．4
二、填空题（本题共24分，每小题3分） 1．设f（x）的原函数是x?1，则2．设x?(0,?10f(2x)dx?__________．
?2)，则函数（sin2x?112)(cosx?)的最小值是__________． sin2xcos2xxxx3．方程3?16?2?81?5?36的解x＝__________．
4．向量a?i?2j在向量b?3i?4j上的投影(a)b?__________． 5．函数y?2x?33x2的单调增加区间是__________．
6．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数是__________．
7．方程7x2
（k+13）x+k2
k＝0的两根分别在区间（0,1）和（1,2）内，则k的取
值范围是__________．
8．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________．
三、证明与计算（本题61分）
1．（6分）已知正数列a1，a2，…，an，且对大于1的n有a1?a2??an?3n，2a1a2an?n?1． 2试证：a1，a2，…，an中至少有一个小于1．
2．（10分）设3次多项式f（x）满足：f（x+2）＝f（x），f（0）＝1，f（3）＝4，试求f（x）．
1p?2p??np(p?0)． 3．（8分）求极限limp?1n??n
?x2?bx?c,x?04．（10分）设f(x)??在x＝0处可导，且原点到f（x）中直线的距
lx?m,x?0?离为
1，原点到f（x）中曲线部分的最短距离为3，试求b，c，l，m的值．（b,c>0） 3
5．（8分）证明不等式：1?sinx?cosx?2，x?[0,
6．（8分）两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率．
7．（11分）如图所示，设曲线y?
34?2]．
1．若射21
上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB1A1，x
△A1B2A2，…，直角顶点在曲线y?
和是否存在．
一份自信手中握，两天高考要快乐，三心二意要不得，四方幸运被你夺，五湖学子看一博，六月人生新突破，七彩人生是你的，祝你千事顺心，万事俱备，高考考出好成绩。1
上．试求An的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之x
y B1 B2 O A1 A2 x
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