三角函数高考题及练习题（含答案）
1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数 及余弦函数的图象；掌握函数y＝ Asin ( ωx＋ φ)的图象及性质．
2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现，因 此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图 象的识别及其简单的性质 (周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等 )． 3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易．这几年的高考
加强了对三角函数定义、 图象和性质的考查． 在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等．
π 1. 函数 y＝ 2sin2 x－ 4 － 1 是最小正周期为 ________的 ________(填“奇”或“偶” )
函数．
答案： π 奇
π
解析： y＝－ cos 2x－ 2 ＝－ sin2x.
2. 函数 f(x) ＝ lgx － sinx 的零点个数为 ________． 答案： 3
解析： 在 (0，＋ ∞ )内作出函数 y＝ lgx 、 y＝sinx 的图象，即可得到答案．
π π
3. 函数 y＝ 2sin(3x ＋ φ)， | φ|< 的一条对称轴为 x＝ ，则 φ＝ ________．
2 12
π 答案： 4
π
以 φ＝
解析： 由已知可得 3× ＋φ＝ kπ＋
12
π
4
π 2
， k∈ Z ，即 φ＝ kπ＋ ， k∈ Z .因为 | φ|< ，所
π
π 2
4
.
π 3
上的最大值是
2，则 ω＝ ________．
4. 若 f(x) ＝ 2sinω x(0< ω <1)在区间 0，
答案：
3
4
解析： 由 0≤ x≤
上的最大值是
题型二
3
ωπωπωππ32，所以 2sin ＝ 2，且 0<< π ，所以 ＝ ，解得 ω＝ .
3 3 3 3 4 4
三角函数定义及应用问题
π ωπ π ，得 0≤ ωx≤ < ，则 f(x) 在 0， 3 3 3
π
上单调递增，且在这个区间
例 1 设函数 f( θ)＝ 3sinθ＋ cosθ，其中角 θ的顶点与坐标原点重合，始边与
P(x，y)，且 0≤ θ≤π . 负半轴重合，终边经过点
x 轴非
1，
3
，求 f( θ)的值； x＋ y≥ 1， x≤ 1， y≤1
(1) 若点 P 的坐标是 2
2
(2) 若点 P(x， y)为平面区域 函数 f( θ)的最小值和最大值．
解： (1) 根据三角函数定义得
上的一个动点，试确定角 θ的取值范围，并求
及角的范围得角 θ＝ ，从而求出
π
sinθ＝ ， cosθ＝ ，∴ f ( θ)＝2.(本题也可以根据定义
2 2 f( θ)＝2)．
31
3
(2) 在直角坐标系中画出可行域知
π
0≤ θ≤ ，又 f( θ)＝ 3sinθ＋ cosθ＝ 2sin θ＋ ，
2 6
π
π
∴ 当 θ＝ 0， f( θ)
min＝ 1；当 θ＝ 3
，f( θ)
max＝2.
(注： 注意条件，使用三角函数的定义， 一般情况下，研究三角函数的周期、最值、
y＝ Asin ( ωx＋ φ)的形式 ) 单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为
xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 α、 β，它们的终边分别 如图，在平面直角坐标系
2 2 5 、10 5 .求： 与单位圆相交于 A、 B 两点，已知 A 、B 的横坐标分别为
(1) tan( α＋ β)的值； (2) ＋α2β的值．
225π ， cos β＝ ，α、 β∈ 0， 解：由题意得 cos α＝ ，所以 sin α＝ 1－ cos2α 10 5 2
＝
7
10
2
， sin β＝ 1－cos
2
因此 tan α＝ 7， tan β＝ .
5β＝ 5， 1
2
tanα＋ tanβ
1 7＋ 2
(1) tan( α＋ β)＝1－ tanαtanβ＝
1＝－ 3.
1－ 7×2
(2) tan( α＋ 2β)＝tan[( α＋ β)＋β]＝
1
－ 3＋2
1
＝－ 1.
3π
1－（－ 3） × 2
3π
又α.
2β∈ 0， 2 ，所以 α＋2β＝ 4 ＋
题型二 三角函数的图象与解析式问题
函数 f(x) ＝ Asin( ωx＋φ)(A、 ω、 φ是常数， A>0 ，ω >0) 的部分图象如图所例 2 示． (1) 求 f(0) 的值；
π
(2) 若 0<φ<π，求函数 f(x) 在区间 0， 3 上的取值范围． 解： (1)由题图可知 A ＝ 2，
T7πππ7π3π∵ ＝ － ＝ ，∴ ω＝ 2.又 2× ＋ φ＝ 2kπ＋ ，
4 12 3 4 12 2
∴ φ＝ 2kπ＋
π
3 (k∈ Z )，
π 6
∴ f(0) ＝ 2sin 2k π＋ 3 ＝ 2 .
π π
π
π
π
(2) φ＝ 3 ， f(x) ＝ 2 sin 2x＋ 3 . 因 为 0≤ x≤ 3 ， 所 以 3 ≤ 2x ＋ 3 ≤ π ， 所 以 π ≤ 1，即 f(x) 的取值范围为 [0， 2]．
0≤ sin 2x＋ 3
(注：本题主要考查正弦、余弦、正切函数及 y＝ Asin ( ωx＋ φ)的图象与性质以及诱导公 式，运用数形结合思想，属于中档题 )
已知函数 f(x) ＝ Asin ωx＋ Bcos ω x(A 、 B、 ω 是常数，ω＞ 0)的最小正周期为 2，并且 当 x＝ 时， f(x) max＝
2. 3
(1) 求 f(x) 的解析式；
1
21(2) 在闭区间 ，
4
23 上是否存在 f(x) 的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果 4
不存在，请说明理由．
解： (1) 因为 f(x) ＝
A2＋ B 2sin( ωx＋ φ)，由它的最小正周期为 2，知 2π ＝ 2，ω＝π .
ω
又当 x＝ 时， f(x) max＝ 2，知
3
2sin π x＋ 2kπ＋
11π 6
π＋ φ＝ 2kπ＋
ππ 6
3
(k∈ Z)，即 φ＝ 2kπ＋ π (k∈ Z )，所以 f(x) ＝ 2 6
＝ 2sin π x＋
(k∈ Z)．
π
故 f(x) 的解析式为 f(x) ＝2sin π x＋ 6 .
(2) 当垂直于
π x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时， 该直线就是正弦曲线的对称
π 1 21 1 23 59 65
轴，令π x＋ 6 ＝ kπ＋ 2 (k∈ Z)，解得
， 上存在 f(x) 的对称轴，其方程为 又 k∈ Z ，知 k＝ 5，由此可知在闭区间
4 4
题型三 三角函数的性质与图象的移动问题
21
x＝ k＋ 3(k∈ Z)，由 4 ≤ k＋ 3≤ 4 ，解得
23
12≤k≤ 12
x＝
.16
.3
例 3
把函数 f(x) ＝ sin2x－2sinxcosx ＋ 3cos2x 的图象沿 x 轴向左平移 m 个单位 (m>0) ，
x＝
所得函数的图象关于直线
17π
8
对称．
(1) 求 m 的最小值； (2) 证明：当 x∈ － 负数；
17π
，－ 88
15π
时，经过函数 f(x) 图象上任意两点的直线的斜率恒为
(3) 设 x1， x2∈ (0，π )，x1 ≠x2，且 f(x 1)＝ f(x 2)＝1，求 x1＋ x2 的值．
1－ cos2x 1＋ cos2x
22
(1) 解： f(x) ＝ sinx－ 2sinxcosx ＋ 3cosx＝ － sin2x＋ 3· ＝ cos2x－ sin2x
2 2
π
＋2＝ 2cos 2x＋ ＋ 2.
4
π因为将 f(x) 的图象沿 x 轴向左平移 m 个单位 (m>0) ，得到 g(x) ＝
2 2（ x＋ m）＋
的图象，又 g(x) 的图象关于直线
所以 2
x＝17π8
＋ 2 4
对称，
＋ m ＋
17π
π
＝ kπ，即 m＝
（ 2k－9）
4
π (k∈ Z)．
因为 m>0，所以 m 的最小值为
8
4
π
4
.
17π15π7ππ － ，－ ，所以－ 4 π <2x ＋ ，所 以 f(x) 在
<－
8 8 4 2 (2) 证明： 因 为 x∈
ππ1715－ ，－ 上是减函数．所以当 x1、 x2 ∈ －17π ，－ 15π ，且 x1 8 8 8 8 f （ x2） f(x )>f(x )，从而经过任意两点 (x ，f(x ))和 (x ， f(x ))的直线的斜率 f （x1）－ k＝12<0. 1 2 1 1 2 2 x － x 2 (3) 解： 令 f(x) ＝ 1，所以 cos 2x ＋ 4 ＝－ 2 . π π 因为 x∈ (0，π )，所以 2x＋ ∈ ， 9π . 4 4 4 π π π π π π 所以 2x＋ ＝ 3 或 2x＋ ＝ 5 π ，即 x＝ 或 x＝ 4 4 4 4 4 2 . π π 3π 因为 x1、x2∈(0，π )， x1≠ x2，且 f(x 1)＝ f(x 2 )＝ 1，所以 x1＋ x2 ＝ 4 ＋ 2 ＝ 4 已知函数 f(x) ＝2sinω x，其中常数ω >0. 2π (1) 若 y＝ f(x) 在 － ， 上单调递增，求 ω的取值范围； π43 π (2) 令 ω＝ 2，将函数 y＝ f(x) 的图象向左平移 个单位，再向上平移 1 个单位，得到函 6
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