简单介绍[编辑] 卷积是分析数学中一种重要的运算。设:
,
是
上的两个可积函数,作积分:
可以证明,关于几乎所有的
同取值,这个积分就定义了一个新函数
,上述积分是存在的。这样,随着的不,称为函数与的卷积,记为
,并且
空间是一个代数,
。我们可以轻易验证:
仍为可积函数。这就是说,把卷积代替乘法,
甚至是巴拿赫代数。
卷积与傅里叶变换有着密切的关系。例如两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换,利用此一性质,能简化傅里叶分析中的许多问题。 由卷积得到的函数局部可积时,它们的卷积
一般要比和都光滑。特别当为具有紧支集的光滑函数,为
也是光滑函数。利用这一性质,对于任意的可积函数,
,这种方法称为函数的光滑化或正则
都可以简单地构造出一列逼近于的光滑函数列化。
卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。
定义[编辑] 函数f与g的卷积记作
,它是其中一个函数翻转并平移后与另一个函数的乘积的
积分,是一个对平移量的函数。
积分区间取决于f与g的定义域。 对于定义在离散域的函数,卷积定义为
图解卷积 1. 首先将两个函数都用来表示。 2. 对其中一个函数做水平翻转: 3. 加上一个时间偏移量,让轴滑动。 4. 让t从-∞滑动到+∞。两函数交会时,计算交会范围中两函数乘积的积分值。换句话说,我们是在计算一个滑动的的加权平均值。也就是使用当做加权函数,来对平均值。 最后得到的波形(未包含在此图中)就是f和g的卷积。 如果f(t)是一个单位脉冲,我们得到的乘积就是g(t)本身,称为冲激响应。 →能沿着取加权计算卷积的方法[编辑]
当
为有限长度
,
为有限长度
的信号,计算卷积
有三种主要的
方法,分别为1.直接计算(Direct Method) 2.快速傅里叶转换(FFT)和3.分段卷积 (sectioned
convolution)。方法1是直接利用定义来计算卷积,而方法2和3都是用到了FFT来快速计算卷积。也有不需要用到FFT的作法,如使用数论转换。 方法1直接计算[编辑] ? 作法:利用卷积的定义 ? 若和皆为实数信号,则需要个乘法。 ? 若和皆为更一般性的复数信号,不使用复数乘法的快速算法,会需要个乘法。 个乘法;但若使用复数乘法的快速算法,则可简化至因此,使用定义直接计算卷积的复杂度为方法2快速傅里叶转换(FFT)[编辑] ? 。 概念:由于两个离散信号在时域(time domain)做卷积相当于这两个信号的离散傅里叶转换在频域(frequency domain)做相乘: ,可以看出在频域的计算较简单。 ? 作法:因此这个方法即是先将信号从时域转成频域: ,于是 ,最后再将频域信号转回时域,就完成了卷积的计算: 总共做了2次DFT和1次IDFT。 ? 特别注意DFT和IDFT的点数要满足。 ? 由于DFT有快速算法FFT,所以运算量为 ? 假设点DFT的乘法量为,和为一般性的复数信号,并使用复数乘法的快速算法,则共需要个乘法。 方法3分段卷积(sectioned convolution)[编辑] ? 概念:将切成好几段,每一段分别和做卷积后,再将结果相加。 ? 作法:先将切成每段长度为的区段 (),假设共切成S段: Section 1: Section 2: Section r: Section S: ,为各个section的和 。 因此, , 每一小段作卷积则是采用方法2,先将时域信号转到频域相乘,再转回时域: 。 ? 总共只需要做点FFT 次,因为只需要做一次FFT。
? 假设点DFT的乘法量为,和为一般性的复数信号,并使用复数乘法个乘法。
的快速算法,则共需要
? 运算量:
? 运算复杂度:,和呈线性,较方法2小。
性质[编辑] 各种卷积算子都满足下列性质: 交换律
结合律
分配律
数乘结合律
其中为任意实数(或复数)。 微分定理
卷积简单介绍
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