简单介绍[编辑] 卷积是分析数学中一种重要的运算。设：
,
是
上的两个可积函数，作积分：
可以证明，关于几乎所有的
同取值，这个积分就定义了一个新函数
，上述积分是存在的。这样，随着的不，称为函数与的卷积，记为
，并且
空间是一个代数，
。我们可以轻易验证：
仍为可积函数。这就是说，把卷积代替乘法，
甚至是巴拿赫代数。
卷积与傅里叶变换有着密切的关系。例如两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，利用此一性质，能简化傅里叶分析中的许多问题。 由卷积得到的函数局部可积时，它们的卷积
一般要比和都光滑。特别当为具有紧支集的光滑函数，为
也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数，
，这种方法称为函数的光滑化或正则
都可以简单地构造出一列逼近于的光滑函数列化。
卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。
定义[编辑] 函数f与g的卷积记作
，它是其中一个函数翻转并平移后与另一个函数的乘积的
积分，是一个对平移量的函数。
积分区间取决于f与g的定义域。 对于定义在离散域的函数，卷积定义为
图解卷积 1. 首先将两个函数都用来表示。 2. 对其中一个函数做水平翻转： 3. 加上一个时间偏移量，让轴滑动。 4. 让t从-∞滑动到+∞。两函数交会时，计算交会范围中两函数乘积的积分值。换句话说，我们是在计算一个滑动的的加权平均值。也就是使用当做加权函数，来对平均值。 最后得到的波形（未包含在此图中）就是f和g的卷积。 如果f（t）是一个单位脉冲，我们得到的乘积就是g（t）本身，称为冲激响应。 →能沿着取加权计算卷积的方法[编辑]
当
为有限长度
，
为有限长度
的信号，计算卷积
有三种主要的
方法，分别为1.直接计算(Direct Method) 2.快速傅里叶转换(FFT)和3.分段卷积 （sectioned
convolution）。方法1是直接利用定义来计算卷积，而方法2和3都是用到了FFT来快速计算卷积。也有不需要用到FFT的作法，如使用数论转换。 方法1直接计算[编辑] ? 作法：利用卷积的定义 ? 若和皆为实数信号，则需要个乘法。 ? 若和皆为更一般性的复数信号，不使用复数乘法的快速算法，会需要个乘法。 个乘法;但若使用复数乘法的快速算法，则可简化至因此，使用定义直接计算卷积的复杂度为方法2快速傅里叶转换（FFT）[编辑] ? 。 概念:由于两个离散信号在时域（time domain）做卷积相当于这两个信号的离散傅里叶转换在频域（frequency domain）做相乘： ，可以看出在频域的计算较简单。 ? 作法:因此这个方法即是先将信号从时域转成频域： ，于是 ，最后再将频域信号转回时域，就完成了卷积的计算： 总共做了2次DFT和1次IDFT。 ? 特别注意DFT和IDFT的点数要满足。 ? 由于DFT有快速算法FFT，所以运算量为 ? 假设点DFT的乘法量为，和为一般性的复数信号，并使用复数乘法的快速算法，则共需要个乘法。 方法3分段卷积（sectioned convolution）[编辑] ? 概念：将切成好几段，每一段分别和做卷积后，再将结果相加。 ? 作法：先将切成每段长度为的区段 （），假设共切成S段： Section 1: Section 2: Section r: Section S: ，为各个section的和 。 因此， ， 每一小段作卷积则是采用方法2，先将时域信号转到频域相乘，再转回时域： 。 ? 总共只需要做点FFT 次，因为只需要做一次FFT。
? 假设点DFT的乘法量为，和为一般性的复数信号，并使用复数乘法个乘法。
的快速算法，则共需要
? 运算量：
? 运算复杂度：，和呈线性，较方法2小。
性质[编辑] 各种卷积算子都满足下列性质： 交换律
结合律
分配律
数乘结合律
其中为任意实数（或复数）。 微分定理
卷积简单介绍
