显然 L??d 2f?t???dt2???L?δ?t??2δ?t?1??δ?t?2????1?e?s?2
根据微分性质 L??d2f?t??2????? ?dt2???sF?s??f?0?sf0?
由图4-2（b）可以看出
f?0???0,f??0???0 于是 s2F?s???1?e?s?2 F?s??1?1?e?ss2?2
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方法四：利用卷积性质求解
f?t?可看作是图4-2(c）所示的矩形脉冲f?t?自身的
f1?t?1卷积 而 所以
例4-3
F1?s??11?e?ss1F?s??21?e?ssf?t??f1?t??f1?t?1o1于是，根据卷积性质
F?s??F1?s?F1?s?t???2
图4-2（c）
?应用微分性质求图
f1?t?,12f1?t?,f2(t),f3?t?的象函数下面说明应用微分性质应注意的问题，f?t??3u?t?f?t??u?t?f?t??2?u?t?3f1??t?,f2??t?,f3??t?4-3（a）中 f3?t?图34-3（b） 3 的波形。
f2?t?,是的导数
1ot2oott12
解答 说明
（1）对于单边拉氏变换, 由于f?t??f?t?u?t?,故二者的象
12图4-3（a）
f1??t??3??t?(1)of2??t????t?t(3)ot(1)of3??t????t?t图4-4（b)函数相同，即
?2?虽然F?s??F?s?，但f?t??f?t?，因而1212F1?s??F2?s??3s
L?f1??t???L?f2??t??13
对于f1?t?，由于f1?0???0，故L?f??t???sF?s??0?3 1
对于f2?t?，由于f2?0???2，故
L?f2??t???sF?s??2?1
?3?虽然f2?t?和f3?t?一阶导数相同，但f2?0???2，f3?0???0， 因此
ft2?t???δ?x?dx?ft02?0????δ?x?dx?2?0? ft3?t???t0δ?x?dx?f3?0????δ?x?dx?0? 因而 F
s??1 sF?δ?t???132?sf2?0???s Fs??1F?δ?t???1f13?3?0???
sss
这是应用微分性质应特别注意的问题。由图4-3（b）知
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L?f1??t???sF?s??0?3L?f2??t???sF?s??2?1则F1?s??则F2?s??则F3?s??3s3s111F?δ?t???f3?0???sss
tf3?t???δ?x?dx0?例4-4
某线性时不变系统，在非零状条件不变的情况下，三种不同的激励信号作用于系统。
当输入x1?t??δ?t?时，系统的输出为y1?t????t??e?tu?t?；
当输入x2?t??u?t??t?时，系统的输出为y2?t??3e?tu?t?；当输入x3?t?为图中所示的矩形脉冲时，求此时
y3?t? 。系统的输出
x3?t?1o123ty1?t??yzi?t??yzs?t??yzi?t??h?t?(?1)?t??yzi?t??h(?1)?t??yzi?t??g?t?y1?t??yzi?t??yzsy1?t??y2?t??h?t??h(?1)?t????t??2e?t12H?s??H?s??1?ss?1h?t????t??e?tu?t?15
拉普拉斯变换公式总结
