A．2 【答案】A 【详解】
B．4
C．?4 D．?2
∵?b?c?sin?A?C???a?c??sinA?sinC?，，
∴由正弦定理可得：?b?c?b??a?c（，整理可得：b2+c2﹣a2=-bc， ?a?c）∴由余弦定理可得：cosA=?即又
12?，∴由A∈（0，π），可得：A=，又ABC的面积为3，2312?bcsin?3,∴bc=4, 23vuuuvuuuv2uuuuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvAB?DA?DB?DB?DA?DA?DB=DB2-DA2=CB-AB?AC44uuuvuuuvuuuvuuuv2uuuvuuuv4AB?ACAB?AC=?=?AB?AC=-bccosA=2.
44????????=?2uuuvuuuvAB?AC4?2-
??故选A.
11.已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD//BC，
AB?DC?AD?2，BC?PA?4，PA?面ABCD，则球O的体积为（ ）
A．
642? 3B．
162? 3C．162?
D．16?
【答案】A 【分析】
根据已知中的平行关系和长度关系可确定BC中点E为底面梯形的外接圆圆心，根据球的性质可知OE?平面ABCD，利用勾股定理构造出关于OE和球的半径R的方程，解方程求得
R，代入球的体积公式可求得结果.
【详解】
取BC中点E，连接AE,DE,BD
QAD//BC且AD?边形
1BC?EC ?四边形ADCE为平行四2?AE?DC，又DC?11BC ?DE?BC
22?AE?DE?BE?EC
?E为四边形ABCD的外接圆圆心
设O为外接球的球心，由球的性质可知OE?平面ABCD
作OF?PA，垂足为F ?四边形AEOF为矩形，OF?AE?2 设AF?x，OP?OA?R
则4??4?x??4?x2，解得：x?2 ?R?24?4?22 ?球O的体积：V?4?R3?642? 本题正确选项：A
33x2y212. 已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线
abl:3x?4y?0交椭圆E于A,B两点．若AF?BF?4，点M到直线的距离不小于
椭圆E的离心率的取值范围是（ ） A． (0,4，则53333] B．(0,] C．[,1) D．[,1) 2244【答案】A
13.过点??2,4?且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为_________. 【答案】2x+y=0，或 x-y=6=0 【分析】
可分①当在坐标轴上截距为0时与②在坐标轴上截距不为0时讨论解决． 【详解】
：①当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为：y=-2x，即2x+y=0； ②当在坐标轴上截距不为0时，∵在坐标轴上截距互为相反数， ∴x-y=a，将A（-2，4）代入得，a=-6，
∴此时所求的直线方程为x-y+6=0； 即答案为2x+y=0，或 x-y=6=0.
14.已知?,?为第二象限的角，cos(??)??,sin(??)?【答案】?【分析】
由?,?为第二象限的角，cos(??)??,sin(??)??435?45（???），则sin的值为_____.
1363 65?3?5，可得
45413?4?12??sin(??)?,cos(??)??，由于???=(??)?(??)，再结合两角和的正
4541344弦公式展开运算即可得解. 【详解】
?345?4?12所以sin(??)?,cos(??)??，
45413又因为
解：因为?,?为第二象限的角，cos(??)??,sin(??)??45， 13)]=sin(??)cos(??)+cos(??)sin(??)，
4444444123563（???）??， 所以sin=?(?)?(?)?5135136563故答案为：?.
65)?(??15.设函数f?x?是定义在R上周期为2的函数，且对任意的实数x，恒f?x??f??x??0，当x???1,0?时，f?x??x．若g?x??f?x??logax在x??0,???上有且仅有三个零点，
2sin（???）=sin[(????????则a的取值范围为_____. 【解析】 【分析】
根据函数的周期和奇偶性作出y?f?x?和y?logax在?0,???上的图象,根据交点个数列出不等式求出a的范围. 【详解】
Qf?x??f??x??0,?f?x??f??x?， ?f?x?是偶函数，
根据函数的周期和奇偶性作出f?x?的图象如图所示,
Qg?x??f?x??logax在x??0,???上有且仅有三个零点， ?y?f?x?和y?logax的图象在?0,???上只有三个交点， ?loga3?1?结合图象可得??loga5?1，解得3?a?5，
?a?1?即a的范围是?3,5?
16. 已知实数x，y满足x?y?1，则2x?y?4?6?x?3y的最大值是 ． 【答案】15
22?2?x?2y,y?2?2x z?2x?y?4?6?x?3y??10?3x?4y,y?2?2x?
由图可知当y?2?2x时，满足的是如图的AB劣弧，则z?2?x?2y在点A(1,0)处取得最大值；当y?2?2x时，满足的是如图的AB优弧，则z?10?3x?4y与该优弧相切时取得
最大值，故d?z?10?1，所以z?15，故该目标函数的最大值为15. 517.2024年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来。某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方
图。
（1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；
（2）（i）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；
（ⅱ）已知该小区年龄在[10，80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数。
【答案】(1) 平均数37，中位数为35;(2) （ⅰ）P(A)?80岁的成年人人数约为2000×0.88＝1760． 【分析】
（1）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数；（2）（ⅰ）从6人中任选2人共有15个基本事件，至少有1人年龄不低于60岁的共有9个基本事件，由古典概型概率公式可得结果；（ⅱ）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1－（18－10）×0.015＝0.88． 【详解】
（1）平均数x?15?0.15?25?0.2?35?0.3?45?0.15?55?0.1??65?75??0.05?37． 前三组的频率之和为0.15＋0.2＋0.3＝0.65，故中位数落在第3组，设中位数为x， 则（x－30）×0.03＋0.15＋0.2＝0.5，解得x＝35，即中位数为35．
（2）（ⅰ）样本中，年龄在[50，70）的人共有40×0.15＝6人，其中年龄在[50，60）的有4人，设为a，b，c，d，年龄在[60，70）的有2人，设为x，y．
则从中任选2人共有如下15个基本事件：（a，b），（a，c），（a，d），（a，x），（a，y），（b，c），（b，d），（b，x），（b，y），（c，d），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）． 至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：
（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）． 记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A，
93?;（ⅱ）该小区年龄不超过155
江西省南昌市第二中学2024届高三数学第四次月考试题文
