学业分层测评(七)
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[学业达标]
一、选择题
1．(2016·宜昌高二检测)如果抛物线y2＝ax的准线是直线x＝1，那么它的焦点坐标为( )
A．(1,0) C．(3,0)
B．(2,0) D．(－1,0)
【解析】 由准线方程x＝1可得a＝－4，所以焦点坐标为(－1,0)． 【★答案★】 D
2．到直线x＝2与到定点P(2,0)的距离相等的点的轨迹是( ) A．抛物线 B．圆 C．椭圆 D．直线
【解析】 法一：根据抛物线的定义判断，首先要看点P与直线的位置关系．点P(2,0)在直线x＝2上，故轨迹不是抛物线，而是经过点P(2,0)且垂直于直线x＝2的一条直线．
法二：设动点M(x，y)，则有?x－2?2＋y2＝|x－2|，所以y2＝0，即y＝0，表示的是x轴这条直线．故选D.
【★答案★】 D
3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
1A.2 C．2
B．1 D．4
p
【解析】 由已知，可知抛物线的准线x＝－2与圆(x－3)2＋y2＝16相切．圆p
心为(3,0)，半径为4，圆心到直线的距离d＝3＋2＝4，解得p＝2.
【★答案★】 C
4．(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，
Ruize
5
|AF|＝4x0，则x0等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8
1p15
【解析】 由抛物线方程y2＝x，知p＝2，又因为|AF|＝x0＋2＝x0＋4＝4x0，所以得x0＝1.
【★答案★】 A
5．已知F为抛物线x2＝2py(p>0)的焦点，M为其上一点，且|MF|＝2p，则直线MF的斜率为( )
3
A．－3 C．－3
3B．±3 D．±3
p?p?0，?【解析】 由题意，得F?，准线为y＝－2?2. ?
过点M作MN垂直于准线于N，过F作FQ垂直于MN于Q，则|MN|＝|MF|＝2p，|MQ|＝p.故∠MFQ＝30°.
33
即直线MF的倾斜角为150°或30°，斜率为－3或3. 【★答案★】 B 二、填空题
6．抛物线y2＝2px过点M(2,2)，则点M到抛物线准线的距离为________． 【解析】 因为y2＝2px过点M(2,2)，于是p＝1，所以点M到抛物线准线p5的距离为2＋2＝2. 5
【★答案★】 2
7．一动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，并且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点________．
【解析】 直线x＋2＝0是抛物线y2＝8x的准线，根据抛物线的定义，动圆必过焦点(2,0)．
【★答案★】 (2,0)
8．若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是________．
Ruize
【解析】 设动圆的半径为r，圆心O′(x，y)，且O′到点(2,0)的距离为r＋1，O′到直线x＝－1的距离为r，所以O′到(2,0)的距离与到直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义知y2＝8x.
【★答案★】 y2＝8x 三、解答题
9．(1)求过点P(2，－4)的抛物线的标准方程；
(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线相交于点A，|AF|＝5，求抛物线的标准方程.
【导学号：63470031】
【解】 (1)∵P(2，－4)在第四象限且坐标轴是对称轴， ∴设抛物线方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)． 1
将P点的坐标代入，得p＝4或p＝2. ∴所求抛物线的方程为y2＝8x或x2＝－y. (2)设所求焦点在x轴上的抛物线的标准方程为： y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)．
p??
则由抛物线的定义得5＝|AF|＝?m＋2?
??又(－3)2＝2pm.所以，p＝±1或p＝±9. 故所求抛物线的方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
10．求与圆(x－3)2＋y2＝9外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程． 【解】 设定圆圆心M(3,0)，半径r＝3，动圆圆心P(x，y)，半径为R，则?|PM|＝R＋3，
由已知得下列等式?
?|x|＝R.
∴|PM|＝|x|＋3.
当x>0时，上式几何意义为点P到定点M的距离与它到直线x＝－3的距离相等，
Ruize
高中数北师大选修1-17 抛物线及其标准方程
