2001年北京市宣武区第二次模拟试题
数学试卷（理科）
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知映射f：A→B，其中集合A={-3，-2，-1，1，2，3}，集合B中的元素都是集合A中的元素在映射f下的象，且对于任意a∈A，在B中和它对应的元素是log2|a|，则集合B中元素为有理数的个数是（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
2．函数y?log2(x?1)(x?1)的反函数的图象是（ ）
x2y22x2y23．椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率是，那么双曲线2?2?1的离心率
2abab是（ ）
A
2 B
366 C D 2324．已知m、n是不重合的两条直线，α、β是不重合的两个平面，对于以下四个命题：
①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n； ② 若m∥n，m?α，n⊥β，则α⊥β； ③若α∩β=m，m∥n，则n∥α且n∥β； ④若m⊥n，α∩β=m，则n⊥α或n⊥β 若中正确的命题是（ ）
A ①与② B ②与③ C 仅② D 仅④
5．函数y=(arcsinx)2+4arcsinx-1取得最大值和最小值的情况是（ ） A 有最小值-5，无最大值
?2?2??1 B 有最小值-5，最大值4?2?2?2??1，最大值?2??1 C 有最小值44?2??2??1，最大值?2??1 D 有最小值
4246．极坐标方程所表示的曲线是（ ）
A 两条相交的直线 B 两个相交的圆 C 一条直线和一个圆，且直线与圆相离 D 一条直线和一个圆，且直线与圆相切
7．设复数z?cos??icos?,??[0,?]，w=－1+i，则|z－w|的最大值是（ ） A
2?1 B 5 C 2 D 2
8．已知两圆O1：x2+y2=16，O2：(x－1)2+(y+2)2=9，两圆公共弦交直线O1O2于M点，则Q1分有向线段MO2的比λ等于（ ）
A ?6565 B ? C D
56569．数列{an}是公差不为零的等差数列，且a7、a10、a15是一等比数列{bn}的连续三项，
若该等比数列的首项为b1=3，则bn等于（ ）
A 3?()53n?1 B 3?()58n?1 C 3?(?)35n?1 D 3?()23n?1
10．如图一，菱形ABCD中，∠DAB=120°，AB=1，沿对角线AC将△ACD折起，使点D至D′位置，连BD′得到三棱锥D′—ABC（如图二），则三棱锥D′—ABC体积
的最大值为（ ）
A
3311 B C D 16881611．某车队有编号为1，2，3，4，5的五辆车。现为完成一件任务，需派三辆车按不同
时间出车，其中若2号、3号车被同时派出时，则2号车一定要排在3号车前面。这样不同的派车方法的种数为（ ）
A 51 B 45 C 60 D 30
12．不等式ax?1?x?1的解集是{x|则b的值等于（ ）
A 1 B 2?11≤x?b}，其中a、b是实数，且b?，222 C 2?2 D 2
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中的横线上。 13．tg10??tg20??tg20??tg60??tg60??tg10?的值为 。 14．已知轴截面是正三角形的圆锥的侧面积等于一个球的表面积，那么这个圆锥的体积与球的体积之比是 。
15．对于函数f(x)?x2?lg(x?x2?1)，有以下四个结论：
①f(x)的定义域是全体实数； ②f(x)在[0,??)上是增函数； ③f(x)是偶函数；
④若又知a、m?R，且f(a)=m，则f(?a)?2a?m
其中正确结论的序号是 （把正确结论的序号都填上）
16．已知抛物线x2=y+1上一定点A(0，－1)和两动点P、Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是 。
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）
2已知集合A?{x|log3(x?2x)?1}，集合B={x|x2+(4－3a)x≤12a}，若A∪B=B，求
2实数a的取值范围。
18．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos(且b?c?求cos2?7?A)?3cosA?，242a，
B?C的值。 2 19．（本小题满分14分）
已知：如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，点M、N、E分别为AB、PC、PD的中点。
（I）求证：AE⊥平面PMC； （II）求证：MN⊥AB；
（III）若平面PCD和平面ABCD所成的二面角为锐角θ，试确定θ的值，使得直线MN为异面直线AB和PC的公垂线；
（IV）在（III）的条件下，若又知AB=1，AD=2，求多面体AMCDEN的体积。 20．（本小题满分12分）
某房屋开发公司用128万元购得一块土地，欲建成不低于五层的楼房一幢，该楼每层的建筑面积为1000平方米，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）每平方米平均建筑费用与
楼层有关，若该楼建成x层时，每平方米的平均建筑费用用f(x)表示，已知建成n层时所需费用与建成m层所需费用有如下关系成立：
f(n)?f(n)?(1?n?m（其中n＞m，m、n∈N） )，
20又知建成五层楼房时，每立方米的平均建筑费用为400元，为了使该楼每平方米的综合费用最省（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把该楼建成几层？
21．（本小题满分12分）
设a为实常数，且a≠－1，an为(1+a+x)n展开式中x的系数，其中n∈N。 （I）写出数列{an}的通项公式； （II）设Sn=a1+a2+…+an，求Sn；
（III）当a?(??,?2]?[0,??)时，求lim 22．（本小题满分12分）
an的值。
n??Snx2y2已知双曲线G:2?2?1(a?0,b?0)，F为右焦点，A为右顶点，又点B的坐标
ab为（0，b），△ABF的面积为
2?1，∠FAB=135°。 2（I）求双曲线G的方程；
（II）直线过点且与双曲线G的左支交于M、N两点，求直线m的斜率k的取值范围； （III）在（II）的条件下，又知直线1过点（－2，0）和线段MN的中点，PQ是y轴上的一条动线段，当1和线段PQ无公共点时，PQ的长的最大值是否存在，请说明理由。
参考答案
一、
1 C 2 B 3 D 4 C 5 C 6 D 7 C 8 A 9 A 10 B 11 A 12B 二、 13．1 14．6:2 15．①、②、④ 16．(??,?2]?[2,??)
2三、17．解：对于集合A，有log3(x?2x)?1，
2??x?0或x?2?x?2x?0 ??2?????1?x?3?x?2x?3∴ A=（－1，0）∪（2，3）
对于集合B:x?(4?3a)x?12a≤0，?(x?4)(x?3a)≤0 ∵ A?B?B ∴ A?B ∴ 3a??4 ∴ B?[?4,3a] 又A?B， ∴ 3a≥3，∴a≥1。
2?7?A)?3cosA?， 2472 得sinA?3cosA?
472 即1?cosA?3cosA?
418．解：由cos(2整理得cosA?3cosA?23=0 4解得cosA?3，∴ A=30° 2又由b?c?2a，
2sinA
根据正弦定理得sinB?sinC??2sinB?CB?Ccos?2sin30? 22A?B?C?∵?，
22∴2cosAB?C2cos? 2226?2 4∵cosA?cos15??2∴2?6?2B?C2?cos? 422∴cosB?C2213?1 ????2226?23?1
2001年北京宣武区第二次模拟试题
