v1.0 可编辑可修改 第七讲 非黎曼积分（反常积分）
一、知识结构
我们知道黎曼积分要求积分区间有限，并且积分区间是闭区间（闭区域）. 下面研究积分区间无限,或积分区间不是闭区间的积分,我们称这样的积分为反常积分,所谓反常是指相对于黎曼积分的反常.对正常积分,我们主要研究它的计算问题,而对反常积分, 主要研究它的收敛问题.
1、 一元函数的反常积分
(1) 一元函数反常积分的概念和定义
我们知道黎曼积分要求积分区间是有限闭区间?a,b?或有限闭区域D，如果将积分区间?a,b?换成无限区间[a,??)或非闭区间(a,b]（a是被积函数的瑕点）或?a,???，由此产生的积分我们称为反常积分，反常积分是相对于黎曼积分所提出的，“反常”指将黎曼积分中的有限闭区间?a,b?换成无限区间[a,??)或非闭区间(a,b]（a是被积函数的瑕点,即函数f(x)在点
x处无界）.
定义1 函数f(x)在无限区间[a,??)连续，则定义
???af(x)dx?limA???a?Af(x)dx，如果极限limA???a?Af(x)dx存在，我们称反
常积分
???af(x)dx收敛.
定义2 函数f(x)在非闭区间(a,b]连续，而在点a右邻域内无界（a是
00
v1.0 可编辑可修改 被积函数f(x)的瑕点）即函数在点a无界，则定义
?baf(x)dx?lim????0ba??f(x)dx?lim??f(x)dx,如果极限lim??k?akbb??0a??f(x)dx存在，我们称反常积分
?baf(x)dx收敛.
x?a函数f(x)在点a右邻域内无界的意思是：lim?f(x)??.注意: 函数在点a没有定义,但函数f(x)在点a右极限lim?f(x)可以存在,这时a不
x?a是被积函数f(x)的瑕点.
sinxsinx在点0处没有定义,但lim??1,所以x?0不是
x?0xx1sinx1sinx1sinx积分?dx 的瑕点. ?dx不是反常积分. 将积分?dx看
000xxx例如,函数
作推广的黎曼积分. 因为, 如果被积函数f(x)在闭区间?a,b?上仅有有限个第一类间断点, 则积分
?baf(x)dx为推广的黎曼积分,它也是收敛的.
定义3 函数f(x)在开区间(a,b)内连续，a,b都是函数f(x)的瑕点，则定义
?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx?lim??accbc??0a??f(x)dx?lim????0b??cf(x)dx,
如果极限lim???0?ca??f(x)dx和lim????0b??cf(x)dx均存在，我们称反常积分
?baf(x)dx收敛.
定义4 函数f(x)在无限区间(a,??)连续，a是函数f(x)的瑕点，则
定义
???af(x)dx??f(x)dx??ab??bf(x)dx?lim????0A???bba??f(x)dx?limA???b?Af(x)dx,
如果极限lim???0?ba??f(x)dx和lim?Af(x)dx均存在，我们称反常积分
11
v1.0 可编辑可修改 ???af(x)dx收敛.
②积分区域无限且被积函数f(x,y)有瑕点（了解）. 2、一元函数反常积分的性质与收敛判别 请同学们切记如下例子中的结论.
??11例 讨论积分?pdx和?dx的敛散性.
0x1xp11??1解 显然?dx和?dx均发散.
0x1x11在区间(0,1]上, 当p?1时, 函数p?, 即前者的图像在后者的图
xx1111像下方,这时?pdx收敛(请同学给出证明). 当p?1时, 函数p?,
0xxx11即前者的图像在后者的图像上方,这时?pdx发散(请同学给出证明).
0x11在区间[1,??)上, 当p?1时, 函数p?, 即前者的图像在后者的
xx??1图像上方,这时?dx发散(请同学给出证明). 当p?1时, 函数
1xp1111, 即前者的图像在后者的图像下方,这时?dx收敛(请同学给出pp?0xxx1证明).
结论:
?10?1，当p?1时，1?dx?1?p?xp????,当p?1时 和
???1???，当p?1时，1?1dx? ?,当p?1时.xp??p?1(1) 无穷积分的性质与收敛性判别 ①无穷积分的性质
22
数学分析第七讲反常积分
