2.1函数及其表示
【考纲要求】
1、了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。 2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数。
3、了解简单的分段函数，并能简单应用。 【基础知识】
1、映射的定义 设A,B是两个非空的集合，如果按照对应法则f，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A到集合B的映射，记作
f:A?B。映射允许多对一，一对一，但是不允许一对多，允许集合B中的元素在集合A
中没有元素和它对应。 2、函数的概念
设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一的值与它对应，那么称f:A?B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y?f(x).
其中x叫做自变量，y叫做函数，自变量x的取值范围（数集A）叫做函数的定义域，与x的值对应的y值叫做函数值，所有函数值构成的集合C?yy?f(x),x?A叫做这个函数的值域。
3、函数的三要素
函数的三要素是定义域、值域、对应法则，在这三要素中，由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，故也可说函数只有两个要素。 4、两个函数能成为同一函数的条件
当且仅当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，这两个函数才是同一函数。 5、区间的概念和记号
设a,b?R，且a?b，我们规定：
（1）满足不等式a?x?b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]。 （2）满足不等式a?x?b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)。
（3）满足不等式a?x?b或a?x?b的实数x的集合叫做半闭半开区间，分别表示为[a,b)和(a,b]。这里的实数a和b叫做相应区间的端点。
（4）实数R可以用区间表示为(??,??),“?”读作“无穷大”，“??”读作“负
??无穷大”，“??”读作“正无穷大”。我们可以把满足x?a的实数x表示为[a,??) 6、函数的表示方法
函数的表示方法有三种。（1）解析法：就是把两个变量的函数关系用代数式来表达，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。（2）列表法：就是列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法。（3）图像法：用图像来表示两个变量间的函数关系。
7、分段函数
在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，则称这个函数为分段函数。分段函数是一个函数，而不是几个函数。分段函数书写时，注意格式规范，一般在左边的区间写在上面，右边的区间写在下面，每一段自变量的取值范围的交集为空集，所有段的自变量的取值范围的并集是函数的定义域。
8、求函数的定义域的主要依据是：（1）分式的分母不能等于零；（2）偶次方根的被开方数必须大于等于零；（3）对数函数y?logax的真数x?0；（4）指数函数y?a和对
0数函数y?logax的底数a?0且a?1；（5）零次幂x的底数x?0； （6）函数y?tanxx的定义域是{x|x?k???2（7）由实际问题确定函数的定义域，不仅要考虑解k?z}；
析式有意义，还要有实际意义。
9、温馨提示
（1+映射是一种特殊的函数，映射中的集合A,B可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后顺序。A到B的映射与B到A的映射是不同的。而函数是数集到数集的映射，所以函数是特殊的映射，但是映射不一定是函数。
（2）求函数的定义域的主要依据是：（1）分式的分母不能等于零；（2）偶次方根的被开方数必须大于等于零；（3）对数函数y?logax的真数x?0；（4）指数函数y?a和
0对数函数y?logax的底数a?0且a?1；（5）零次幂x的底数x?0； （6）函数y?tanxx的定义域是{x|x?k???2（7）由实际问题确定函数的定义域，不仅要考虑解k?z}；
析式有意义，还要有实际意义。
(3)函数的问题，要遵循“定义域优先”的原则。无论是简单的函数，还是复杂的函数，无论是具体的函数，还是抽象的函数，必须优先考虑函数的定义域。之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带来方便。
(4)函数的定义域和值域必须用集合表示，也可以用区间表示，但是不能用不等式表示。 (5)判断两个函数是否相等，或者是否是同一函数，关键是看两个函数的定义域与对应法则是否一致。
(6)求函数的解析式的主要方法有以下四种：
①待定系数法：如果知道函数解析式的类型（函数是二次函数、指数函数和对数函数等）时，可以用待定系数法；
②代入法：如果已知原函数f(x)的解析式，求复合函数f[g(x)]的解析式时，可以用代入法；
③换元法：如果已知复合函数f[g(x)]的解析式，求原函数f(x)的解析式时，可以用
换元法。换元时，注意新“元”的范围；
④解方程组法：如果已知抽象函数的解析式，可以用解方程组的方法。
(7)不等式a?x?b中，a可以小于等于b，也可以大于b，当a?b时，不等式表示
的是空集；但是区间[a,b]中，一定是a?b，它不可能是空集。 Z.xx.k
(8)分段函数的首先分段处理，最后综合。 【例题精讲】
例1 求函数y?25?x2+log3cosx的定义域。
??5?x?5?25?x2?0?解析：由题得?????2k???x?2k??cosx?0??22?k?z
3??3?{x|?5?x???或??x?或??x?5}
22223??3所以函数的定义域为{x|?5?x???或??x?或??x?5}
2222例2
已知f(x)是一次函数，且满足3f(x?1)?2f(x?1)?2x?17，求f(x)
解析：由题可设f(x)?ax?b(a?0)，
所以3?[a(x?1)?b]?2[a(x?1)?b]?2x?17
?a?2?0化简得(a?2)x?5a?b?17?0 ??
5a?b?17?0?所以a?2b?7 所以f(x)?2x?7
学.科.网Z.X.X.K]
2.1
函数强化训练
【基础精练】
1.下列是映射的是（ ） a e e a a e a e a e b f b b f f b c f b g c g c c
图1 图2 图3 图4 图5
(A)图1、2、3 (B)图1、2、5 (C)图1、3、5 (D)图1、2、3、5 2.已知A?{0,1,2,4},B?{,0,1,2,6,8},下列对应关系能构成从A到B的映射的是
12( )
2 A . f:x?x?1 B. f:x?(x?1) C . f:x?23x?1 D. f:x?2x
3.下列与函数y=x是同一函数的是（ ）
x2logxx(A)y?x (B)y? (C)y?aa (D)y?logaa
x24.已知函数y?2?x的定义域为M，集合N?{x|y?lg(x?1)}，则
M?N?()
（A）[0,2) （B）(0,2) （C）{1,2) （D）(1,2]
?|x?1| x??1?25.f(x)??x ?1?x?2，那么f(f(－2))= ；如果f(a)?3，那么实数
?2x x?2?a= 。
6.求下列函数的解析式
（1）已知f(x)?x?3x?2，求f(x?1) 学_科_网Z_X_X_K]
（2）已知f(x?1)?3x?2x?1，求f(x)
（3）已知f(x)是一次函数，且满足3f(x?1)?2f(x?1)?2x?17，求f(x)
7.求下列函数的定义域
2422lg(x?x2)?(3x?2)0； ⑴y?|x?3|?3
⑵y?25?x2+log3
cosx
⑶y?lg(x?1)?lgx?1. x?1
8.求下列函数的值域
（1）y?x?2x?3 x?[?2,3] （2）y?
【拓展提高】
1.如果函数y?
2. 如下图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点（起 点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y=f（x）. （1）求△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；
D Z|xx|k
（2）作出函数的图象，并根据图象求y的最大值.
【基础精练参考答案】
C 222x?5 （3）y?log0.3(x?4x?5) x?3mx2?6mx?m?8的定义域为R，求实数m的取值范围.
PA B 3.D【解析】两个函数的定义域和对应法则相同，就是同一函数。选择支A中函数和已知的函数定义域相同，但是值域不同，函数y=x的值域是R,函数y?x2的值域是[0,??)；选
2012届高三数学一轮复习基础导航：2.1函数及其表示
