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拼十年寒窗挑灯苦读不畏难;携双亲期盼背水勇战定夺魁。如果你希望成功,以恒心为良友,以经验为参谋,以小心为兄弟,以希望为哨兵。专题八 二次函数与几何图形的综合
毕节中考备考攻略
二次函数与几何的综合问题一般作为压轴题呈现,具有知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系复杂、综合性强、解题方法灵活等鲜明特点,同时题型变化多样,如求线段的长、求图形的面积、特殊三角形的存在性、特殊四边形的存在性、相似三角形的存在性等等.
1.二次函数与线段的长
(1)一般设抛物线上点的横坐标为x,纵坐标为抛物线解析式,与之相关的点的横坐标也为x,纵坐标为直线解析式,两点纵坐标之差的绝对值即为线段的长度;
(2)建立关于线段长的二次函数,通过求二次函数的最值进而求线段长的最值; (3)线段长之和最小的问题,转化为对称点后用两点之间线段最短解决. 2.二次函数与图形的面积
(1)根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答图形的面积;
(2)通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型,并掌握二次函数中面积问题的相关计算,从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用;
(3)利用二次函数的解析式求出相关点的坐标,从而得出相关线段长,利用割补方法求图形的面积. 3.二次函数与特殊三角形
(1)判断等腰三角形,可以对顶点进行分类讨论; (2)判断直角三角形,可以对直角顶点进行分类讨论. 4.二次函数与特殊四边形
此类题型结合特殊四边形的判定方法,对对应边进行分类讨论,求平行四边形存在类问题用平移法解坐标较简单,其他特殊的平行四边形结合判断方法用边相等、角为直角或对角线的交点坐标突破.
5.二次函数与相似三角形
结合相似三角形判定方法,如果一个角为直角,只需两直角边之比分别相等,此时要对对应边分类讨论.
中考重难点突破
二次函数与线段的长
32
例1 (2018·遂宁中考改编)如图,已知抛物线y=ax+x+4的对称轴是直线x=3,且与x轴相交于A,B两
2点(B点在A点右侧),与y轴交于C点.
(1)求抛物线的解析式和A,B两点的坐标;
(2)若M是抛物线上任意一点,过点M作y轴的平行线,交直线BC于点N,当MN=3时,求点M的坐标. 【解析】(1)由抛物线的对称轴x=3,利用二次函数的性质即可得到a的值,进而可得出抛物线的解析式,再利用抛物线与x轴交点的纵坐标为0可求出点A,B的坐标;
(2)根据二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标.由点B,C的坐标,利用待定系数法可得直线BC的解
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析式.设点M的横坐标为m,可表示点M的纵坐标.又由MN∥y轴,可表示出点N的横纵坐标,进而可用m的代数式表示出MN的长,结合MN=3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程,分类讨论即可得出结果.
32312
【答案】解:(1)∵抛物线y=ax+x+4的对称轴是直线x=3,∴-=3,解得a=-,
22a4123
∴抛物线的解析式为y=-x+x+4.
42123
当y=0时,-x+x+4=0,
42解得x1=-2,x2=8.
∴点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(8,0); 123
(2)当x=0时,y=-x+x+4=4,
42∴点C的坐标为(0,4).
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0). 将B(8,0),C(0,4)代入y=kx+b,得
??8k+b=0,?k=-,?
2 ?解得?
??b=4,?
?b=4,
1
∴直线BC的解析式为y=-x+4.
2
1231????设点M的坐标为?m,-m+m+4?,则点N的坐标为?m,-m+4?, 422????
1
?123?1??∴MN=?-m+m+4-?-m+4??
2?2???4?12?=?-m+2m?.
?4?
?12?又∵MN=3,∴?-m+2m?=3.
?4?
1212
当-m+2m≥0,即0≤m≤8时,-m+2m=3,解得m1=2,m2=6,
44此时点M的坐标为(2,6)或(6,4).
12
同理,当-m+2m<0,即m>8或m<0时,点M的坐标为(4-27,7-1)或(4+27,-7-1).
4综上所述,点M的坐标为(2,6),(6,4),(4-27,7-1)或(4+27,-7-1).
2
1.(2018·安顺中考改编)如图,已知抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,且抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A(1,0),C(0,3).
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(1)若直线y=mx+n经过B,C两点,求直线BC和抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴x=-1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标. 解:(1)依题意,得 b
-=-1,??2a
?a+b+c=0, ??c=3,a=-1,??
解得?b=-2,
??c=3,
∴抛物线的解析式为y=-x-2x+3. 令y=0,则-x-2x+3=0, 解得x1=1,x2=-3, ∴点B(-3,0).
把B(-3,0),C(0,3)代入y=mx+n,得
??-3m+n=0,? ?n=3,?
??m=1,解得?
?n=3,?
2
2
∴直线BC的解析式为y=x+3;
(2)设直线BC与x=-1的交点为M,连接AM. ∵点A,B关于抛物线的对称轴对称, ∴MA=MB,
∴MA+MC=MB+MC=BC,
∴当点M为直线BC与x=-1的交点时,MA+MC的值最小. 把x=-1代入y=x+3,得y=2, ∴M(-1,2).
二次函数与图形的面积
7
例2 (2018·达州中考改编)如图,抛物线经过原点O(0,0),A(1,1),B(,0).
2(1)求抛物线的解析式;
(2)连接OA,过点A作AC⊥OA交抛物线于点C,连接OC,求△AOC的面积.
中考数学复习专题 二次函数与几何图形的综合(精讲)试题
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