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专题二 立体几何
高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)空间概念、空间想象能力、点线面位置关系判断、表面积与体积计算等，A级要求；(2)线线、线面、面面平行与垂直的证明，B级要求.
真 题 感 悟
1.(2018·江苏卷)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________.
解析 正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的142
所有棱长都是2，则该正八面体的体积为×(2)×1×2＝.
334
答案
3
2.(2018·江苏卷)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.
求证：(1)AB∥平面A1B1C； (2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.
证明 (1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1. 因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C， 所以AB∥平面A1B1C.
(2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形. 又因为AA1＝AB，
所以四边形ABB1A1为菱形， 因此AB1⊥A1B.
又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1， 所以AB1⊥BC.
又因为A1B∩BC＝B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC， 所以AB1⊥平面A1BC.
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因为AB1平面ABB1A1， 所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.
3.(2017·江苏卷)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，
F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC.
证明 (1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB. 又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD平面ABD，
所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB平面ABC，BC平面ABC， 所以AD⊥平面ABC，又因为AC平面ABC，所以AD⊥AC.
4.(2016·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
求证：(1)直线DE∥平面A1C1F； (2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
证明 (1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC.
在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1. 又DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F. (2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1. 因为A1C1平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.
又A1C1⊥A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1， 所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D. 又B1D⊥A1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，
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（江苏专用）2019高考数学二轮复习专题二立体几何学案理
