第2节 均值不等式及其应用
最新考纲 1.了解均值不等式的证明过程;2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.
知 识 梳 理
a+b
1.均值不等式:ab≤2 (1)均值不等式成立的条件:a≥0,b≥0. (2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.
a+b(3)其中2称为正数a,b的算术平均数,ab称为正数a,b的几何平均数. 2.两个重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. ?a+b?2
?(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. (2)ab≤?
?2?3.利用均值不等式求最值 已知x≥0,y≥0,则
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2p(简记:积定和最小).
s2
(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是4(简记:和定积最大). [微点提醒]
ba
1.a+b≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号. ?a+b?2a2+b2
?≤2.ab≤?
2. ?2?
a+b
3.11≤ab≤2≤a+b2
a2+b2
2(a>0,b>0).
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
a+b
(1)两个不等式a2+b2≥2ab与2≥ab成立的条件是相同的.( )
1
(2)函数y=x+x的最小值是2.( )
4
(3)函数f(x)=sin x+sin x的最小值为4.( )
xy
(4)x>0且y>0是y+x≥2的充要条件.( )
解析 (1)不等式a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R; a+b
不等式2≥ab成立的条件是a≥0,b≥0.
1
(2)函数y=x+x的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),没有最小值. 4
(3)函数f(x)=sin x+sin x没有最小值. xy
(4)x>0且y>0是y+x≥2的充分不必要条件. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(必修5P73B2改编)若x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为( ) A.9
B.18
C.36
D.81
x+y
解析 因为x+y=18,所以xy≤2=9,当且仅当x=y=9时,等号成立. 答案 A
1
3.(必修5P73A8改编)若x<0,则x+x( ) A.有最小值,且最小值为2 B.有最大值,且最大值为2
C.有最小值,且最小值为-2 D.有最大值,且最大值为-2 解析 因为x<0,所以-x>0,-x+1
立,所以x+x≤-2. 答案 D
x2-2x+1?1?
4.(2019·鞍山模拟)已知f(x)=,则f(x)在?2,3?上的最小值为( )
x??
14A.2 B.3 C.-1 D.0 x2-2x+111解析 f(x)==x+-2≥2-2=0,当且仅当x=
xxx,即x=1时取等号. ?1??1?
又1∈?2,3?,所以f(x)在?2,3?上的最小值为0.
????答案 D
5.(2018·呼和浩特模拟)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,则这个矩形的长为________m,宽为________m时菜园面积最大. 解析 设矩形的长为x m,宽为y m.则x+2y=30, 11?x+2y?225
?=,当且仅当x=2y, 所以S=xy=2x·(2y)≤2?
2?2?15
即x=15,y=2时取等号. 15
答案 15 2
1
6.(2018·天津卷)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+b的最小值为________.
81
解析 由题设知a-3b=-6,又2a>0,8b>0,所以2a+8b≥2
a-3b
12a·22=8b=2·
2
1
≥21=2,当且仅当x=-1时,等号成-x
1111aa,当且仅当2=,即a=-3,b=1时取等号.故2+的最小值为48b8b4.
1答案 4
人教B版2020高考文科数学第七章 第2节均值不等式及其应用
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