第2节 均值不等式及其应用
最新考纲 1.了解均值不等式的证明过程；2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.
知 识 梳 理
a＋b
1.均值不等式：ab≤2 (1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
a＋b(3)其中2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数. 2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. ?a＋b?2
?(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2)ab≤?
?2?3.利用均值不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小).
s2
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是4(简记：和定积最大). [微点提醒]
ba
1.a＋b≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号. ?a＋b?2a2＋b2
?≤2.ab≤?
2. ?2?
a＋b
3.11≤ab≤2≤a＋b2
a2＋b2
2(a>0，b>0).
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
a＋b
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与2≥ab成立的条件是相同的.( )
1
(2)函数y＝x＋x的最小值是2.( )
4
(3)函数f(x)＝sin x＋sin x的最小值为4.( )
xy
(4)x＞0且y＞0是y＋x≥2的充要条件.( )
解析 (1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R； a＋b
不等式2≥ab成立的条件是a≥0，b≥0.
1
(2)函数y＝x＋x的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值. 4
(3)函数f(x)＝sin x＋sin x没有最小值. xy
(4)x>0且y>0是y＋x≥2的充分不必要条件. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(必修5P73B2改编)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( ) A.9
B.18
C.36
D.81
x＋y
解析 因为x＋y＝18，所以xy≤2＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立. 答案 A
1
3.(必修5P73A8改编)若x<0，则x＋x( ) A.有最小值，且最小值为2 B.有最大值，且最大值为2
C.有最小值，且最小值为－2 D.有最大值，且最大值为－2 解析 因为x<0，所以－x>0，－x＋1
立，所以x＋x≤－2. 答案 D
x2－2x＋1?1?
4.(2024·鞍山模拟)已知f(x)＝，则f(x)在?2，3?上的最小值为( )
x??
14A.2 B.3 C.－1 D.0 x2－2x＋111解析 f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝
xxx，即x＝1时取等号. ?1??1?
又1∈?2，3?，所以f(x)在?2，3?上的最小值为0.
????答案 D
5.(2024·呼和浩特模拟)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大. 解析 设矩形的长为x m，宽为y m.则x＋2y＝30， 11?x＋2y?225
?＝，当且仅当x＝2y， 所以S＝xy＝2x·(2y)≤2?
2?2?15
即x＝15，y＝2时取等号. 15
答案 15 2
1
6.(2024·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋b的最小值为________.
81
解析 由题设知a－3b＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋8b≥2
a－3b
12a·22＝8b＝2·
2
1
≥21＝2，当且仅当x＝－1时，等号成－x
1111aa，当且仅当2＝，即a＝－3，b＝1时取等号.故2＋的最小值为48b8b4.
1答案 4
人教B版2024高考文科数学第七章 第2节均值不等式及其应用
