全国初中数学竞赛试
题及答案
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1997年全国初中数学联赛试题
第一试
一.选择题
本题共有6小题,每一个小题都给出了以(A), (B), (C), (D)为代号的四个答案,其中只有一个答案是正确的.请将正确的答案用代号填在各小题的括号内. 1.下述四个命题
(1)一个数的倒数等于自身,那么这个数是1;
(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形; (3)a2的平方根是?a; (4)大于直角的角一定是钝角.
(A)1个 (B)2个; (C)3个; (D)4个.
答( )
2.已知
43?2?x?45?3,那么满足上述不等式的整数x的个数是
答( )
(A)4; (B)5; (C)6; (D)7.
答( )
3.若实数a,b,c满足a2?b2?c2?9,代数式(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2的最大值是
(A)27 (B)18; (C)15; (D)12.
答( )
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4.给定平面上n个点,已知1,2,4,8,16,32都是其中两点之间的距离,那么点数n的最小可能值是
(A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 答( ) 5.在梯形ABCD中,AD?DC,?B?300,?C?600,E,M,F,N分别为AB,BC,CD,DA的中点,已知BC=7,MN=3,则EF之值为
1(A)4 (B)4 (C)5; (D)6. 答( )
2
6.如图,已知?A??B,AA1,PP1,BB1均垂直于
A1B1,AA1?17,PP1?16,BB1?20,A1B1?12,则AP+PB等于
（A）12； （B）13； （C）14； （D）15. 答( )
二、填空题
1.从等边三角形内一点向三边作垂线,已积压这三条垂线的长分别为1,3,5,则这个等边三角形的面积是 .
2.当a取遍0到5的所有实数值时,满足3b?a(3a?8)的整数b的个数是 .
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3.若a,b满足3a?5b?7,则S?22?3b的取值范围是 . 4.若正整数x, y满足x2?y2?1997,则x?y等于___________.
第二试
一.设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点, PE垂直AC于点F, PF垂直BC于点F, PG垂直EF于点G, 延上取一点D, 使得PD=PC,试BC=BD.
二.已知a,b为整数,且a?b,方程
3x2?3(a?b)x?4ab?0
长GP并在其延长线证:BC?BD,且
的两个根?,?满足关系式
?(??1)??(??1)?(??1)(??1)
试求所有的整数点对(a,b).
三.已知定理:“若三个大于3的质数,a,b,c满足关系式2a?5b?c,则a?b?c是整数n的倍数”.试问:上述定理中的整数n的最大可能值是多少?并证明你的结论.
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