②函数y=f?x?在区间????12，3???内单调递减；
③函数y=f?x?在区间(4,5)内单调递增；④当x＝2时，函数y=f?x?有极小值；⑤当x=－12时，函数y=f?x?有极大值．
则上述判断正确的是________．(填序号)【答案】③
由导函数的图象可以得到原函数y=f?x?的草图：
故只有③正确.
【变式2】已知函数f(x)?ax4lnx?bx4?c(x>0)在x = 1处取得极值-3-c，其中a,b,c为常数.（1）试确定a,b的值；
（2）讨论函数f?x?的单调区间并求极值；【答案】
（1） 由题意知f(1)??3?c，因此b?c??3?c，从而b??3．
又对f(x)求导得
f?(x)?4ax3lnx?ax4?1x?4bx3?x3(4alnx?a?4b)．
由题意f?(1)?0，因此a?4b?0，解得a?12,b??3．
（2）由（1）知f?(x)?48x3lnx（x?0），令f?(x)?0，解得x?1．
当0?x?1时，f?(x)?0，此时f(x)为减函数；当x?1时，f?(x)?0，此时f(x)为增函数．
11
所以f(x)有极小值f(1)??3?c.
因此f(x)的单调递减区间为(0，1)，而f(x)的单调递增区间为(1，?∞),当x?1时，f(x)取极小值?3?c.
类型三：分类讨论思想在导数中的应用
【高清课堂：导数的应用综合 370878 例题3（Ⅱ）】
k2x (k≥0)，求f?x?的单调区间.2x(kx?k?1)【思路点拨】先求导f'(x)?，再根据x(kx?k?1)的首项系数与两根大小进行分类讨论，注
1?x 例5.已知函数f?x?= ln(1?x)?x?意函数的定义域.
x(kx?k?1)，x?(?1,??).
1?xx当k?0时，f'(x)??.
1?x【解析】f'(x)?
所以，在区间(?1,0)上，f'(x)?0；在区间(0,??)上，f'(x)?0.故f(x)得单调递增区间是(?1,0)，单调递减区间是(0,??).
当k?0时，由f'(x)?x(kx?k?1)1?k.?0，得x1?0，x2?1?xk当0?k?1时， x2?x1，
1?k1?k,??)上，f'(x)?0；在区间(0,)上，f'(x)?0，kk1?k1?k故f(x)得单调递增区间是(?1,0)和(,??)，单调递减区间是(0,).
kk此时在区间(?1,0)和(
x2当k?1时，x1=x2=0f'(x)??01?x故f(x)得单调递增区间是(?1,??)，无减区间.当k?1时，x1?x2，
1?k1?k)和(0,??)上，f'(x)?0；在区间(,0)上，f'(x)?0，kk1?k1?k故f(x)得单调递增区间是(?1,)和(0,??)，单调递减区间是(,0).
kk此时，在区间(?1,综上所述，当k?0时，x得单调递增区间是f?(x)，单调递减区间是x；当0?k?1时，f(x)得单调递增区间是(?1,0)和(1?k1?k,??)，单调递减区间是(0,)；kk12
当k?1时，f(x)得单调递增区间是(?1,??)，无减区间；当k?1时，f(x)得单调递增区间是(?1,1?k1?k)和(0,??)，单调递减区间是(,0).kk【总结升华】（1）在判断函数的单调性时，只需判断函数的导数恒大于0或恒小于0；
（2）在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定
f'(x)的符号，否则会产生错误判断。分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想在联系知识
与能力中的作用，从而提高简化计算的能力；
（3）分类讨论是重要的数学解题方法。它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了.举一反三：
【变式1】设函数f(x)??x(x?a)（x?R），其中a?R．（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；（Ⅱ）当a?0时，求函数f(x)的极大值和极小值.【解析】
（Ⅰ）当a?1时，f(x)??x(x?1)??x?2x?x，得f(2)??2，且
2322f?(x)??3x2?4x?1，f?(2)??5．
所以，曲线y??x(x?1)在点(2，?2)处的切线方程是y?2??5(x?2)，整理得
25x?y?8?0．
（Ⅱ）f(x)??x(x?a)??x?2ax?ax2322f?(x)??3x2?4ax?a2??(3x?a)(x?a)．
令f?(x)?0，解得x?a或x?a．3由于a?0，以下分两种情况讨论．
（1）若a?0，当x变化时，f?(x)的正负如下表：
xa???∞，??3??a3?a??，a??3?a(a，?∞)f?(x)?0?0?13
因此，函数f(x)在x?a处取得极小值3?a?f??，且?3?4?a?f????a3；
27?3?函数f(x)在x?a处取得极大值f(a)，且f(a)?0．（2）若a?0，当x变化时，f?(x)的正负如下表：
x??∞，a??a?a?
?a，??3?a3?a?，?∞???3?f?(x)0?0?因此，函数f(x)在x?a处取得极小值f(a)，且f(a)?0；函数f(x)在x?a处取得极大值3?a?f??，且?3?4?a?f????a3．
27?3?注意：1. 导数式含参数时，如何讨论参数范围而确定到数值的正负是解决这类题的难点，一般采用求根法和图象法.2. 列表能比较清楚的看清极值点.3. 写结论时极值点和极大（小）值都要交代清楚.【变式2】已知函数f(x)?ax?lnx (a为常数).（Ⅰ）当a?1时，求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）求函数f(x)在
?1,???上的最值.
，函数的定义域为x?(0,??)【解析】（Ⅰ）当a?1时，函数f(x)=x?lnx由f??x??1?1?0得x?1，∴函数f(x)的单调增区间为(1,??)；x1由f??x??1??0得0?x?1，∴函数f(x)的单调减区间为(0,1)；
x1（Ⅱ）∵f'(x)?a?,
x①若a?0，则对任意的x?[1,??)都有f'(x)?0，∴函数f(x)在[1,??)上为减函数，∴f(x)在[1,??)上有最大值，没有最小值，f(x)最大值?f(1)?a；
1，a1111当0?a?1时，?1，∴当x?(1,)时f'(x)?0，函数f(x)在(1,)上为减函数，当x?(,??)时
aaaa②若a?0，令f'(x)?0得x?14
1f'(x)?0，函数f(x)在(,??)上为增函数；
a∴x?111时，函数f(x)有最小值，f(x)最小值?f()?1?lnaaa，
当a?1时，
1?1，在[1,??)恒有f'(x)?0，∴函数f(x)在[1,??)上为增函数，f(x)在[1,??)有最a小值，f(x)最小值?f(1)?a；
类型四： 转化与化归思想在导数中的应用
(a?R)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．例6. 若函数f?x?=(－x+ax)e，2x【思路点拨】将问题转化为：f'?x??0,??1?x?1?恒成立，再转化为求函数的最值问题。【解析】
【总结升华】转化与化归思想就是在处理繁杂问题时通过转化，归结为易解决的问题，本题中将含参不等式的恒成立问题转化为求函数最值的问题．举一反三：
【变式1】已知函数f(x)?的取值范围.
【解析】对于?x?(0,??)，不等式f(x)?2(a?1)成立?fmin(x)?2(a?1)，?x?0?
下面求在y=f(x)，?x?0?的最小值：
①
2?alnx?2 (a?0).若对于?x?(0,??)都有f(x)?2(a?1)成立，试求ax15
35知识讲解_《变化率与导数、导数的应用》全章复习与巩固(理)_提高
