②函数y=f?x?在区间????12,3???内单调递减;
③函数y=f?x?在区间(4,5)内单调递增;④当x=2时,函数y=f?x?有极小值;⑤当x=-12时,函数y=f?x?有极大值.
则上述判断正确的是________.(填序号)【答案】③
由导函数的图象可以得到原函数y=f?x?的草图:
故只有③正确.
【变式2】已知函数f(x)?ax4lnx?bx4?c(x>0)在x = 1处取得极值-3-c,其中a,b,c为常数.(1)试确定a,b的值;
(2)讨论函数f?x?的单调区间并求极值;【答案】
(1) 由题意知f(1)??3?c,因此b?c??3?c,从而b??3.
又对f(x)求导得
f?(x)?4ax3lnx?ax4?1x?4bx3?x3(4alnx?a?4b).
由题意f?(1)?0,因此a?4b?0,解得a?12,b??3.
(2)由(1)知f?(x)?48x3lnx(x?0),令f?(x)?0,解得x?1.
当0?x?1时,f?(x)?0,此时f(x)为减函数;当x?1时,f?(x)?0,此时f(x)为增函数.
11
所以f(x)有极小值f(1)??3?c.
因此f(x)的单调递减区间为(0,1),而f(x)的单调递增区间为(1,?∞),当x?1时,f(x)取极小值?3?c.
类型三:分类讨论思想在导数中的应用
【高清课堂:导数的应用综合 370878 例题3(Ⅱ)】
k2x (k≥0),求f?x?的单调区间.2x(kx?k?1)【思路点拨】先求导f'(x)?,再根据x(kx?k?1)的首项系数与两根大小进行分类讨论,注
1?x 例5.已知函数f?x?= ln(1?x)?x?意函数的定义域.
x(kx?k?1),x?(?1,??).
1?xx当k?0时,f'(x)??.
1?x【解析】f'(x)?
所以,在区间(?1,0)上,f'(x)?0;在区间(0,??)上,f'(x)?0.故f(x)得单调递增区间是(?1,0),单调递减区间是(0,??).
当k?0时,由f'(x)?x(kx?k?1)1?k.?0,得x1?0,x2?1?xk当0?k?1时, x2?x1,
1?k1?k,??)上,f'(x)?0;在区间(0,)上,f'(x)?0,kk1?k1?k故f(x)得单调递增区间是(?1,0)和(,??),单调递减区间是(0,).
kk此时在区间(?1,0)和(
x2当k?1时,x1=x2=0f'(x)??01?x故f(x)得单调递增区间是(?1,??),无减区间.当k?1时,x1?x2,
1?k1?k)和(0,??)上,f'(x)?0;在区间(,0)上,f'(x)?0,kk1?k1?k故f(x)得单调递增区间是(?1,)和(0,??),单调递减区间是(,0).
kk此时,在区间(?1,综上所述,当k?0时,x得单调递增区间是f?(x),单调递减区间是x;当0?k?1时,f(x)得单调递增区间是(?1,0)和(1?k1?k,??),单调递减区间是(0,);kk12
当k?1时,f(x)得单调递增区间是(?1,??),无减区间;当k?1时,f(x)得单调递增区间是(?1,1?k1?k)和(0,??),单调递减区间是(,0).kk【总结升华】(1)在判断函数的单调性时,只需判断函数的导数恒大于0或恒小于0;
(2)在判断含参数函数的单调性时,不仅要考虑到参数的取值范围,而且要结合函数的定义域来确定
f'(x)的符号,否则会产生错误判断。分类讨论必须给予足够的重视,真正发挥数学解题思想在联系知识
与能力中的作用,从而提高简化计算的能力;
(3)分类讨论是重要的数学解题方法。它把数学问题划分成若干个局部问题,在每一个局部问题中,原先的“不确定因素”不再影响问题的解决,当这些局部问题都解决完时,整个问题也就解决了.举一反三:
【变式1】设函数f(x)??x(x?a)(x?R),其中a?R.(Ⅰ)当a?1时,求曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(Ⅱ)当a?0时,求函数f(x)的极大值和极小值.【解析】
(Ⅰ)当a?1时,f(x)??x(x?1)??x?2x?x,得f(2)??2,且
2322f?(x)??3x2?4x?1,f?(2)??5.
所以,曲线y??x(x?1)在点(2,?2)处的切线方程是y?2??5(x?2),整理得
25x?y?8?0.
(Ⅱ)f(x)??x(x?a)??x?2ax?ax2322f?(x)??3x2?4ax?a2??(3x?a)(x?a).
令f?(x)?0,解得x?a或x?a.3由于a?0,以下分两种情况讨论.
(1)若a?0,当x变化时,f?(x)的正负如下表:
xa???∞,??3??a3?a??,a??3?a(a,?∞)f?(x)?0?0?13
因此,函数f(x)在x?a处取得极小值3?a?f??,且?3?4?a?f????a3;
27?3?函数f(x)在x?a处取得极大值f(a),且f(a)?0.(2)若a?0,当x变化时,f?(x)的正负如下表:
x??∞,a??a?a?
?a,??3?a3?a?,?∞???3?f?(x)0?0?因此,函数f(x)在x?a处取得极小值f(a),且f(a)?0;函数f(x)在x?a处取得极大值3?a?f??,且?3?4?a?f????a3.
27?3?注意:1. 导数式含参数时,如何讨论参数范围而确定到数值的正负是解决这类题的难点,一般采用求根法和图象法.2. 列表能比较清楚的看清极值点.3. 写结论时极值点和极大(小)值都要交代清楚.【变式2】已知函数f(x)?ax?lnx (a为常数).(Ⅰ)当a?1时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)求函数f(x)在
?1,???上的最值.
,函数的定义域为x?(0,??)【解析】(Ⅰ)当a?1时,函数f(x)=x?lnx由f??x??1?1?0得x?1,∴函数f(x)的单调增区间为(1,??);x1由f??x??1??0得0?x?1,∴函数f(x)的单调减区间为(0,1);
x1(Ⅱ)∵f'(x)?a?,
x①若a?0,则对任意的x?[1,??)都有f'(x)?0,∴函数f(x)在[1,??)上为减函数,∴f(x)在[1,??)上有最大值,没有最小值,f(x)最大值?f(1)?a;
1,a1111当0?a?1时,?1,∴当x?(1,)时f'(x)?0,函数f(x)在(1,)上为减函数,当x?(,??)时
aaaa②若a?0,令f'(x)?0得x?14
1f'(x)?0,函数f(x)在(,??)上为增函数;
a∴x?111时,函数f(x)有最小值,f(x)最小值?f()?1?lnaaa,
当a?1时,
1?1,在[1,??)恒有f'(x)?0,∴函数f(x)在[1,??)上为增函数,f(x)在[1,??)有最a小值,f(x)最小值?f(1)?a;
类型四: 转化与化归思想在导数中的应用
(a?R)在(-1,1)上单调递增,求a的取值范围.例6. 若函数f?x?=(-x+ax)e,2x【思路点拨】将问题转化为:f'?x??0,??1?x?1?恒成立,再转化为求函数的最值问题。【解析】
【总结升华】转化与化归思想就是在处理繁杂问题时通过转化,归结为易解决的问题,本题中将含参不等式的恒成立问题转化为求函数最值的问题.举一反三:
【变式1】已知函数f(x)?的取值范围.
【解析】对于?x?(0,??),不等式f(x)?2(a?1)成立?fmin(x)?2(a?1),?x?0?
下面求在y=f(x),?x?0?的最小值:
①
2?alnx?2 (a?0).若对于?x?(0,??)都有f(x)?2(a?1)成立,试求ax15
35知识讲解_《变化率与导数、导数的应用》全章复习与巩固(理)_提高
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)