等差数列的前n项和
教学重点： 掌握等差数列前n项和通项公式及性质，数列最值的求解，与函数的关系 教学难点： 数列最值的求解及与函数的关系
1. 数列的前n项和
一般地，我们称a1?a2?a3?...?an为数列?an?的前n项和，用Sn表示；记法：
Sn?a1?a2?a3?...?an 显然，当n?2时，有an?Sn?Sn?1 所以an与Sn的关系为
an? ①S1 ?n?1?
②Sn?Sn?1?n?2?
2. 等差数列的前n项和公式Sn?3. 等差数列前n项和公式性质
n?a1?an?n?n?1??na1?d 22（1） 等差数列中，依次k?k?2,k?N??项之和仍然是等差数列，即
Sk,S2k?Sk,S3k?S2k,S4k?S3k,... 成等差数列，且公差为k2d
（2） ??Sn??是等差数列 ?n?（3） 等差数列
?an?中，若an?m,am?n?m?n?，则am?n?0；若
Sn?m,Sm?n?m?n?, 则Sm?n???m?n?
（4） 若?an?和?bn?均为等差数列，前n项和分别是Sn和Tn，则有
anS2n?1? bnT2n?1（5） 项数为2n的等差数列?an?，有Sn?n?an?an?1?,有S偶 -S奇 =nd，S奇 /偶 =San an?14. 等差数列前n项和公式与函数的关系
等差数列前n项和公式Sn?na1?n?n?1?dd??d可以写成Sn?n2??a1??n 若令
22?2?dd?A,a1??B, 22
类型一： 数列及等差数列的求和公式
2例1.已知数列?an?的前n项和Sn?n?2n, 求?an?
解析：当n?1时，a1?S1?3；当n?2时，an?Sn?Sn?1?2n?1当n?1时，上式成立所以an?2n?1 答案：an?2n?1
2练习1. 已知数列?an?的前n项和Sn?n?2n,求a2
答案：a2?5
2练习2：已知数列?an?的前n项和Sn?n?2n,求a10
答案：a10?21
例2.已知等差数列?an?的前n项和为Sn ，a1?31,d??,Sm??15,求m及am 223m?m?1??1?.?????15，整理得m2?7m?60?0, 解得m?12或解析：Sm?m.?22?2?m??5（舍去）?am?a12?答案：m?12,a12??4
3?1???12?1???????15 2?2?练习3. 已知等差数列?an?的前n项和为Sn，a1?1,an??512,Sn??1022，求d
答案：d??171
练习4. 已知等差数列?an?的前n项和为Sn，S5?24,求a2?a4 答案：a2?a4?48 5例3.在等差数列?an?中，前n项和为Sn (1) 若S8?48,S12?168,求a1和公差d
(2) 若a4?9,a9??6,求满足Sn?54的所有n的值
解析：（1）由等差数列前n项和公式有8a1?28d?48,12a1?66d?168,?a1??8,d?4 （2）由a4?9,a9??6,?a1?18,d??3所以Sn?18n?1n?n?1???3??54即2n2?13n?36?0 解得n?4或n?9
答案：（1）a1??8,d?4 （2）n?4或n?9
练习5.设Sn 是等差数列?an?的前项和，a1?2,a5?3a3,则S9?___________ 答案：?54
练习6.在等差数列?an?中，a2?1,a4?5,则?an?的前5项和 S5? ______________ 答案：15
类型二： 等差数列前n项和公式的性质 例4.在等差数列?an?中， （1） 若a4?a17?20，求S20
（2） 若共有n项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n项和Sn?286 ，求n （3） 若S10?100,S100?10求S110
解析：（1）由等差数列的性质，知a1?a20?a4?a17?20?S20?20?a1?a20??200 2（2）由题意得，知a1?a2?a3?a4?21,an?an?1?an?2?an?3?67, 由等差数列的性质知
a1?an?a2?an?1?a3?an?2?a4?an?3?4?a1?an??88,?a1?an?22又
n?a1?an? ，即 2n?22 ?n?26 286?2Sn?（4） 因为数列?an?是等差数列，所以S10,S20?S10,S30?S20,...,S100?S90,S110?S100成等
差数列，首项为S10?100，设其公差为d，则S100为该数列的前10项和，
?S100?S10??S20?S10??...??S100?S90??10?100?又S110为该数列的前11项和，故S110答案：（1）S20?200 （2）n?26 （3）S110??110
10?9d?10解得d??22，211?10?11?100????22???110
2练习7.（2014山东淄博一中期中）设Sn 是等差数列?an?的前n项和，若等于（） A.
SS41?，则8S83S161131 B. C. D. 93108答案：C
练习8.（2014山东青岛期中）已知等差数列?an?的公差d?0，
a1?a2?...?a2013?2013at?t?N?? 则t? （）
A.2014 B.2013 C.1007 D.1006 答案：C
例5.已知等差数列?an?和?bn?的前n项和分别为Sn和Tn，且
Sna2n?则3=（） Tnn?1b3A.
34512 B. C. D. 2337解析：当n为奇数时，等差数列?an?的前n项和Sn?n?a1?an??nan?1 同理Tn?nbn?1令222n?5得
答案：C
a35a3S52?55???? b35b3T55?13练习9.已知是?an?等差数列，Sn为其前n项和，n?N?若a3?16,S20?20则S10的值为______ 答案：110
练习10.已知等差数列?an?的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为35，则这个数列的项数为______________ 答案：20
类型三：等差数列前n项和公式的最值及与函数的关系
2例6.已知数列?an?的前项和为Sn?2n?30n
（1） 这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式 （2） 求使得Sn最小的n值
解析：（1）因为an?Sn?Sn?1?4n?32?n?2?当n?1时a1?S1?2?30??28也适合上式，所以这个数列的通项公式为
an?4n?32又因为
an?an?1??4n?32????4?n?1??32???4?n?2? 所以?an? 是等差数列
?15?225（2）Sn?2n2?30n?2?n???因为n是正整数，所以当n?7或8时Sn最小，
2?2?最小值为-112
答案：（1）是；an?4n?32
（2）当n?7或8时Sn最小，最小值为-112
2Tn为数列?练习11.已知等差数列?an?的前n项和为Sn,S7?7,S15?75，
求数列?Tn?的通项公式
?Sn??的前n项和，n??n29?n 答案：Tn?44练习12.等差数列?an?中，若S6?24,S10?120，求S15=_____________ 答案：S15?330
高中数学人教版必修5——第五讲：等差数列前n项和公式
